仅圆规作图——无尺之圆

第第三三十十八八届届中中小小学学科科学学展展览览会会作作品品说说明明书书封封面面科科 别：数学科别：数学科组组 别：国中组别：国中组作品名称：作品名称：无尺之图只用圆规的作图无尺之图只用圆规的作图关关 键键 词：词：圆规作图圆规作图、compasscompass alonealone编编 号：号：1无尺之图无尺之图只用圆规的作图只用圆规的作图摘要：摘要：数学课本在标尺作图之后，提到了拿破仑用圆规四等分圆周，老师又说标尺作图可以作的事，圆规作图也可以作出来。我实在非常惊讶所以便开始进行圆规作图的研究。我先将搜集到的资料中已经研究过的圆规作图，依序模拟研究一遍，并加以证明。再将平常标尺作图的一些图，只用圆规在绘图软件 GSP 上作图。 借着实际作图，我验证了圆规作图的可行性。不过也体会圆规作图的复杂，所以每次挑战出一种图形之后，实在太有成就感！整个研究提升了我的几何功力，这是我最大的收获。壹、壹、研究动机：研究动机：康轩课本二下介绍完标尺作图之后，有一页提到拿破仑只用圆规将一给定圆的圆周四等分，他的作法非常特别，吸引了我们的兴趣。加上老师又说数学家已经研究出标尺作图可以作的事，圆规作图也可以作出来。我们实在非常惊讶所以便开始进行圆规作图的研究。貳、貳、研究目的：研究目的：将我们课程中常作的标尺作图，不用尺只用圆规作出来！(若结果为一直线，则只须找出此直线上的任意两点即可)參、參、研究器材：研究器材：圆规、笔、纸、Cabri(展示用软件)、GSP(书面报告绘图用软件)、一颗清楚的头脑2肆、肆、研究大纲：研究大纲：我们先将资料中已经研究过的圆规作图，依以下顺序仿真研究一遍：一、等线段作图二、对称点作图三、垂直作图四、平行四边形作图五、反演点作图六、等分线段作图七、第四比例项作图八、弧中点作图九、圆与直线交点作图十、两直线交点作图上列的十项作图法，已经完成所有标尺作图可以做到的图，接着我们研究课程中常做的作图：十一、找在线其他点十二、找圆心十三、作垂足十四、作角平分线十五、作正方形十六、作垂心十七、作重心十八、作内心十九、作外心二十、作五边形二十一、作九点圆3伍、伍、研究过程：研究过程：我们先订定 A(BC)为以 A 为圆心，BC 为半径的圆。一、给定 A,B 两点，做出 AB 的任意整数倍。(一)方法：做 B(AB)和 A(AB)交于一点 C做 B(AB)和 C(BC)交于一点 D做 B(AB)和 D(BD)交于一点 E则 AE=2AB将 B 当做原 A，E 当做原 B，则可做出 AB 的任意整数倍。(二)证明：AB=AC=BC=BD=CD=BE=DE ABC= CBD= DBE=60°ABC+ CBD+ DBE=180°ABE 三点共线，AE=2AB如此类推，可做出 AB 的任意整数倍。二、给定 A,B,C 两点，C 在 AB 外，做出 C 对 AB 的对称点。(一)方法：做 A(AC)和 B(BC)交于另一点 D，D 即为所求(二)证明：设 AB 和 CD 交于 EAC=AD ACD= ADCAC=AD，BC=BD，AB=AB ABC ABD BAC= BADAE=AE ADE ACECE=DE， CEA= DEA CEA+ DEA=180° CEA= DEA=90°D 为 C 对 AB 的对称点4三、给定 A,B 两点，做出 C 点，使 ACAB。(一)方法：做 B(AB)和 A(AB)交于一点 D，做 BD 往 D 方向延长一倍到 C(作图法 1)，C 即为所求。(二)证明：AB=AD=BD B= BAD= ADBCD=BD=AD ACD= CAD=(180°- ADC/2) =(180°-(60°+60°)/2)=30° CAB= CAD+ BAD=90°ACAB四、给定 A,B,C 为不共线三点，做出 D 点，使 ABCD 成为一平行四边形。(一)方法：做 C(AB)和 A(BC)交于一点 D，D 位于 ABC 内侧，D 即为所求。(二)证明：AB=CD，AD=BCABCD 成为一平行四边形。五、作图法 6给定圆外一点 A 及 O(OB)，做 A 对 O(OB)的反演点 D(即满足若 OA 交O(OB)于 C，则 OC2=OD*OA)(一)方法：做 A(AO)交 O(OB)于 E,F做 E(OE)，F(OF)交于另一点 D，D 即为所求。(二)证明：EO=FO=ED=FDOD 为 EF 的中垂线AE=AFA 在 EF 的中垂在线A,O,D 三点共线5AE=AO，OE=DE AEO= AOE= DOE= ODE AEO EODAE:EO=EO:ODEO2=AE*ODAE=AO，EO=OCCO2=AO*OD六、给定 A,B 两点，做 C 使 nAC=AB(n 为正整数,n2)(一)方法：做 AD=nAB(作图法 1) 做 D 对 A(AB)的反演点 C(作图法 5)C 即为所求(二)证明：AC*AD=AC*nAB=AB2nAC=AB七、给定 A,B,C,D,E,F 六点，做 G,H，使 AB/CD=EF/GH(一)方法：若 EFEF(作图法 1)用 nAB，nCD 代替 AB,CD，用上述方法可做出6(二)证明：IO=JO，IG=JH，OG=OH OGI OHJ IOG= JOH IOJ= GOHIO:JO=GO:HO=1 IOJ GOHIO:OG=IJ:GHAB:CD=EF:GH八、给定 O(OA)及圆上另一点 B，做弧 AB 中点 F(一)方法：做平行四边形 ABOC，ABDO(作图法 4)做 C(CB)，D(AD)交于 E做 C(OE)交 AB 于 FF 即为所求(二)证明：设 r=OA，a=OC，b=AD，h=OECOAB，ODABC,O,D 三点共线CE=ED COE=90°，OC=ODCE2=OC2+OE2b2=h2+a2AD2+OB2=2AO2+2DO2 (平行四边形对角线平方和等于四边平方和)b2+r2=2r2+2a2h2+a2+r2=2r2+2a2h2=r2+a27OFCDOFABOF 通过 O 且垂直于 AB，F 在 O(AO)上F 为 AB 中点九、给定 O(OA)及两点 B,C，做 O(OA)和 BC 的交点 M,N(一)方法：(1)若 O 在 BC 外做 O 对 BC 的对称点 O'(作图法 2) 做 O(OA)，O'(OA)交于 M,NM,N 即为所求(若此两圆没有交点，则 O(OA)和 BC 没有交点。)(1)若 O 在 BC 上在圆上找一点 D，做 D 对 AB 对称点 E(作图法 2)做 DE 的中点 M,N(作图法 8)M,N 即为所求8(二)证明：(1)OM=ON=O'M=O'NMN 为 OO'的中垂线BC 为 OO'的中垂线M,N 在 BC 上M,N 也在 O(OA)上M,N 为 O(OA)和 BC 的交点(2)AB 为 DE 的中垂线OD=OE，E 也在 O(OA)上一弧的中点及圆心联机为所对的弦的中垂线M,N 在 DE 的中垂线 AB 上9十、给定 A,B,C,D 四点，做 AB 和 CD 的交点 F(一)方法：作 C,D 对 AB 的对称点 C',D'(作图法 2)做 E 使 CC'D'E 为平行四边形(作图法 4)做 x 使得 D'E/DD'=C'D'/x(作图法 7)做 D(x)和 D'(x)交于 FF 即为所求(二)证明：CC'AB，DD'AB，DECC'DD'CC'，D,D',E 三点共线C'D':C'E:ED'=D'F:FD:D'D=1:1:(DD'/x) C'D'E DD'F FD'D= C'D'E， FDD'= C'ED'= DCC'F 在 CD，C'D'上DF=D'FF 在 DD'的中垂在线F 在 AB10十一、给定点 A,B，作出 AB 上的其他点(一)方法：作 B(AB)与 A(AB)交于 E,F分别以 E,F 为圆心，任意长为半径，画圆交于 C,D 两点C,D 皆在 AB 上(二)证明：AB=AE=AF=BE=BFAB 为 EF 的中垂线DE=DF=CE=CFCD 为 EF 的中垂线A,B,C,D 共线十二、给定一圆 c，求此圆之圆心(一)方法：在 c 上任选两点 B,C(BC 要够大)作 B(BC)与 c 交于 D作 B(BC)与 D(CD)交于 F作 F(CF)与 C(BC)交于 E,G作 E(CE)与 G(CG)交于 AA 即为所求(二)证明：设 c 的圆心为 A'，BC=BF=CD=DF=AE=AG=a，CF=EF=FG=bBCA'=CBA'，BCF=BFCBCA'CFBA'D=A'C=A'B=a2/bCGF=GCF，GCA=GACCGFCAGAB=AD=AC= a2/bA 即为 A'11十三、给定 A,B,C 三点，作 C 对 AB 的垂足 D(一)方法：作 C 对 AB 的对称点 E(作图法 2)作 CE 中点 D(作图法 6)D 即为所求(二)证明：根据对称性质可知，对称点联机垂直于对称轴且被对称轴平分十四、已知点 A,B,C，求点 D，使 BD 平分ABC(一)方法：作 B(AB)与 BC 交于 E(作图法 9) 作 E(BE)和 A(AB)交于 DD 即为所求12十五、给定点 A,B，作一以 AB 为一边的正方形(一)方法：作 B(AB)与 A(AB)交于 C作 C(AB)与 A(AB)交于 D作 D(AB)与 A(AB)交于 E作 E(CE)与 B(BD)交于 F作 E(AF)与 A(AB)交于 G作 G(AG)与 B(AB)交于 HABHG 即为所求(二)证明：设 AB 为 1GA=AC=BC=AD=CD=DE=AE=AB=1EF=CE=22BCBE 3AF=GE= BG= 22AEEF 2AB2+AG2=BG2GAABAG=AB=BH=GHABHG 为正方形13十六、给定 A,B,C 三点，作ABC 的垂心(一)方法：作 AD,BE 分别垂直于 BC,AC(作图法 13)作 AD,BE 的交点 H(作图法 10)H 即为所求十七、给定 A,B,C 三点，作ABC 的重心(一)方法：作 AB 中点 E(作图法 6)作 DE=1/3ABD 即为所求14十八、给定 A,B,C 三点，作ABC 的内心(一)方法：作BAC, BCA 的角平分线并交于 I(作图法 10,14)I 即为所求十九、给定 A,B,C 三点，作ABC 的外心(一)方法：作 A(AC),C(AC)交于 D,E作 B(BC),C(BC)交于 F,G作 DE,FG 交于 OO 即为所求15二十、给定 B(AB)，作一个圆内接正五边形(一)方法：作 B(AB)与 B(AB)交于 C作 C(AB)与 B(AB)交于 D作 D(AB)与 B(AB)交于 E作 E(CE)与 A(AD)交于 F作 E(BF)与 B(AB)交于 G,H作 L(HE)与 D(GE)交于圆内一点 I以 GI 为半径，在 B(AB)上依次截取 J,K,L,M 四点GJKML 即为所求(二)证明：设 AB 为 1GB=AC=BC=BD=CD=DE=BE=AB=1EF=CE=BF=22ACAE3DI=IL=GE= BF=22BEEF 2BI=21)23(222215 GI=22BIGB 25210半径为 1 的圆内接正五边形的边长：2cos54°=2521016二十一、给定 A,B,C 三点，作ABC 的九点圆(一)方法：作出ABC 三高的垂足(作图法 13)作出垂心 H 到三顶点的中点(作图法 6,16)作出三边的中点(作图法 6)(设其中之一为 N)