2009年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)试题及点评
- 1 -【本文作者】姓 名：董乐华工作单位：江西省上饶市教研室2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页，共 150 分第卷参考公式如果事件互斥，那么 球的表面积公式,A B()( )( )P ABP AP B24SR如果事件，相互独立，那么 其中表示球的半,A BR径球的体积公式()( )( )P A BP AP B如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 Ap34 3VR次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径nkR( )(1)kkn k nnP kC pp一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）.2(1)(1)izxxxA B C D或101112函数的定义域为（ ）. 2ln(1)34xy xx A B C D( 4,1)( 4,1)( 1,1)( 1,1- 2 -3已知全集中有 m 个元素，中有 n 个元素若非U ABU()()UUABUððABI空，则的元素个数为（ ）.ABIA B C D mnmnnmmn4若函数，则的最大值为（ ）.( )(13tan )cosf xxx02x( )f xA1 B C D231325设函数，曲线在点处的切线方程为2( )( )f xg xx( )yg x(1, (1)g，则曲线在点处切线的斜率为（ ）.21yx( )yf x(1,(1)fA B C D41 421 26过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右22221xy ab0ab1FxP2F焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）.1260FPFoA B C D 2 23 31 21 37展开式中不含的项的系数绝对值的和为，不含的项的系数(1)naxbyx243y绝对值的和为，则的值可能为（ ）.32, ,a b nA B 2,1,5abn 2,1,6abn C D 1,2,6abn 1,2,5abn8数列的通项，其前项和为，则为（ na222cossin33nnnannnS30S）.A B C D4704904955109如图 1，正四面体的顶点，分别在两两垂直的三条射线，ABCDABCOx，上，则在下列命题中，错误的为（ ）.OyOzA是正三棱锥 OABCB直线平面OBACD- 3 -C直线与所成的角是 ADOB45oD二面角为 DOBA45o10为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装3入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为（ 35）.A B C D w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 31 8133 8148 8150 8111一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径” ，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率” ，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为，则下列关系中正确的为（ ）.1234, A B C D14331242334112设函数的定义域为，若所有点2( )(0)f xaxbxc aD构成一个正方形区域，则的值为（ ）.( ,( )( ,)s f ts tDaA B C D不能确定 248第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分请把答案填在答题卡上13已知向量，若，则= (3,1)a (1,3)b ( ,7)c k()acbk14正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，111ABCABC2,A B则正三棱柱的体积为 15若不等式的解集为区间,且,则29(2)2xk x, a b2ba- 4 - k 16设直线系,对于下列四个命题：:cos(2)sin1(02)Mxy中所有直线均经过一个定点AM存在定点不在中的任一条直线上BPM对于任意整数，存在正边形,其所有边均在中的直线上C(3)n n nM中的直线所能围成的正三角形面积都相等DM其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17 （本小题满分 12 分）设函数( )xef xx（1）求函数的单调区间；（2）若，求不等式( )f x0k 的解集'( )(1) ( )0fxkx f x18 （本小题满分 12 分）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独 立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持” ，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个1 2“支持” ，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持” ，则不予资助，令表示该公司的资助总额(1) 写出的分布列； (2) 求数学期望w.w.w.k.s.5.u.c.o.m E19 （本小题满分 12 分）中，所对的边分别为，ABC,A B C, ,a b c,.sinsintancoscosABCABsin()cosBAC（1）求；（2）若,求. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ,A C33ABCS, a c20 （本小题满分 12 分）如图 2，在四棱锥中，底面是矩形，PABCDABCD平面，. 以的中点为球心、为直PA ABCD4PAAD2AB ACOAC径的球面交于点，交于点.PDMPCN- 5 -（1）求证：平面平面； ABMPCD（2）求直线与平面所成的角的大小；CDACM（3）求点到平面的距离.NACM21 （本小题满分 12 分）如图 3，已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双100(,)P xy222218xy bbb2F曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于. 1PA2F Ay2P(1) 求线段的中点的轨迹的方程;1P2PPE(2) 设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线ExBD、E111,(0)Q x yy （）分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点.QBQD，yMN，MN22 （本小题满分 14 分）各项均为正数的数列，且对满足的正整数na12,aa abmnpq都有, , ,m n p q.(1)(1)(1)(1)pqmnmnpqaaaa aaaa（1）当时，求通项 14,25ab;na（2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有aan- 6 -1.na2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学试题答案及解读理科数学试题答案及解读一、选择题1A 【解读与点评】启示：复数为纯虚数的充要条件是 考查iab0a 且b0.复数的概念，简单的因式分解.2C 【解读与点评】启示：要使函数有意义，必须同时满足对数的真数大于 0，分母不为 0，被开方数大于等于 0 等条件本题以判断函数意义为载体，考查了解一元不等式（组）等知识，体现数学的转化及化归思想3D 【解读与点评】启示：考查了全集与补集概念，此题只需由全集与补集概念再利用文氏图便可求得；若利用也可另外此题还可用排()()UUUABABIUððð除法来解：因为或的元素个数只能比全集的元素个数小，故可ABI()()UUABUðð排除 A、B、C 三个选项4B 【解读与点评】启示：对于一个含有弦、切的三角函数式的问题，首先是化弦后，得到一个，很直接地就会想到化为一个角的三角函数本题因cossinaxbx为=，再利用该三角函数在给定范围内的单调性即(13tan )cosxx2cos3x可。它考查了数学的化归思想；易错点：判断三角函数的最值要关注条件中设置的障碍02x5A 【解读与点评】启示：明确曲线在点处切线的斜率为，( )yf x(1,(1)f(1)f 在点处切线的斜率为，而是关键考查了求( )g x(1, (1)g(1)g( )( )2fxg xx- 7 -导运算，导数的几何意义及其应用6B 【解读与点评】考查了圆锥曲线的定义、基本性质和解析几何特有的数形结合的思想7D 【解读与点评】启示：展开式中不含的项的系数，可令(1)naxbyx不含的项的系数，可令 考查了二项式定理，以及分类与0,1.xyy1,0.xy 整合、一般与特殊的数学思想易错点，混淆了二项展开式某一项的二项式系数与系数这两个概念8A 【解读与点评】启示：这是个小型综合题，考查了三角函数的二倍角公式，特 殊角的三角函数值，并由此构造出一个等差数列得出所求，或利用特殊的数列前 n项和的求法得出结论易错点，不能找出数222(1)(21)126Ln nnn列的的特性，运算过程较繁而造成计算不正确 9B 【解读与点评】启示：几何体中若有三条两两垂直的线段，一般考虑将原图补为正方体或长方体此题是难得的好题，它体现了高中课改的理念，重在考查空间想象能力易错点，由于已知条件表述的形式及几何图形的视角变化，使学生一时不知如何下手10D 【解读与点评】启示：解决问题有三种思路， （1）A、B、C 三种卡片在 5 袋食品中被集齐的可能情况有两种形式（1，2，2）或（1，1，3） ，所以122113 542543 53C(2 C )/A3CCC50 381P(2)A、B、C 三种卡片在 5 袋食品中不被集齐的可能情况有三种形式（0，2，3）或（0，1，4）或（0，0，5） ，所以；或者从三种卡片中任取两种放52314 5354 533(2 CC )3(2 CC )350 381P5 袋食品中，则 易错点，考生很难理出头绪或考虑全5553(3 23)50 381P面，如果是填空题，学生的答案可能会五花八门11C 【解读与点评】考查了平面基本图形的概念和学生的基本识图能力，注重了能力立意，具有典型的转化化归的数学思想，体现新的课程理念启示：前三个区域的周率依次等于正方形、圆
