交换群上的HOPF路余代数的结构分类
扬州大学硕士学位论文交换群上的HOPF路余代数的结构分类姓名：吴美云申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：陈惠香20060401吴美云交换群上的H O P F 路余代数的结构分类!摘要最常见的H o p f 代数的例子有S w e e d l e r 四维H o p f 代数，群代数和L i e 代数的泛包络代数等设k 为域，取定g 七+ ，g 为有限维半单李代数，A = b 矿) 为g 对应的C a r t a n 矩阵，若A 可对称化，则g 的量子包络代数U 。( g ) 为k 上的H o p f 代数随着g 的取值不同，可构造不同的U 。( g ) 一般说来，构造H o p f 代数不是一件容易的事近年来，很多数学家开始借助于q u i v e r 来研究代数结构q u i v e r 在代数表示论中起着非常重要的作用2 0 0 2 年，C C i b i l s 和M R o s s o 给出了q u i v e r 的路余代数成为分次H o p f 代数的等价条件而( 分次) H o p f 代数的表示理论在物理学和数学的很多其它分支中都有应用，1 9 9 0 年，S M a j i d 将( 分次) H o p f 代数的表示理论运用于量子Y a n g B a x t e r 方程的解的构造q u i v e r 还可用来研究测度论和s t r i n g 理论前不久，S Z h a n g ，Y Z h a n g 和H X C h e n 对p o i n t e dq u i v e rH o p f 代数进行了分类，他们给出了p o i n t e d 箭向H o p f 路余代数k Q 。，H o p f 路代数尼Q 5 以及一型H o p f 路余代数k G k Q ， 以及p o i n t e d 箭向H o p f 路代数k Q 。( 其中Q 有限) 的分类本文从H o p fq u i v e r 出发，借助于右k Z 郴) - 模范畴的直积1 I c 训G ) 与k G H o p f 双模范畴答M 等之间的同构，就G = D l 和D 2 时，分别给出了H o p f 路余代数坦。的同构分类及其子H o p f 代数k G k Q , 的结构，得到以下几个定理：定理4 3 设G = D 1 = 1 ，g 为2 阶循环群，k 为固定的域，c h a r ( k ) 2 ，r 是关于G的r a m i f i c a t i o n ，Q = ( G ，) 为相应的H o p f q u i v e r ，若_ = m 0 ，名= q 0 ，则路余代数尼Q 。有( m + 1 ) ( g + 1 ) 个互不同构的分次H o p f 代数结构k Q 。( a 磊) ，0 玎m ，0 f q k G 在H o p f 双模( 尥，口鼬) ，0 ”m ，0 f g 上的模作用为：肾粥= 灌薯= 口搿，Y j = 口抬年Q ，i = 1 ，m ；j = l ，q H o p f 路余代数k Q 。 ) ，中其>> 一> 一> 一gf吣嘲，、【=gy“口I Inl>> 一> 一> 一m门扬州大学硕士学位论文O O ，r = = = 0 ，V i 0 ，设P ( i ，3 ) 表示将f 剖分成不多于3 个部分的方案数，( 如，3 ) = 1 + 尸( 1 ，3 ) + 尸( 2 ，3 ) + + P ( m ，3 ) ，令夏。) = k = ( 盔，也，岛) N 3I 白也岛o ，墨+ 也+ 岛_ ，则路余代数坦。有( 吃，3 )个_ U L 不同构的分次H o p f 代数结构k Q 。( a 肌) ，k 五 ) ，k G 在H o p f 双模( 熘，口舭) ，k = ( 蜀，包，恕) 夏。) 上的模作用为：呸瑙旭罐驴 繁鬣苎兰，：I - 4 1 j1 i 曩或k l + 也 o ，= = o ，令t 名) = 尼= ( 矗，乞，如) N 3l 矗+ k 2 + 也- > 0 ，。= 0 ，名= 1 7 , = P ，令夏撕) = 尼= ( 白，尼：，k 6 ) N 6I k l + k 2 + 包屹，k 4 + k 5 + 氏 ，则路余代数k O 。有tt 扬州大学硕士学位论文4( 3 ：! ：门 ( 3 三p 个互不同构的分次H 。p f 代数结构尼Q 。c 口肌，尼五¨，尼G 毛KH o p f 双模( 七Q l ，口肌) ，k = ( 矗，k ：，毛，屯，包，吃) 夏¨) 上的模作用为：a y j = 以船，6 刁= 以箔，= 西：) 6 ，a z ，= 日芸。，班倦发兰黧美鬈X竺巷俐=繁l i > n 跳瑚妒 繁馨0w h e r eX i = 口蹄，Y j = 础Q 1 ，i = 1 ，m ；j = 1 ，q T h eg e n e r a t o r so ft h eH o p fs u b a l g e b r ak G k Q v口局。o f尼Q 。( 口磊) ，0 ，2 聊，0 f g ，a sa na l g e b r a ，a r eg ，x j = a 。( 0 a n d= a ( ，J g ，i = 1 ，m ；j = l ，g T h eg e n e r a t i n gr e l a t i o n sa r ea sf o l l o w s ：9 2 = ·，誓g = “ - 毵g x j2 至：三：f g Y jq > f Y J g = Ig Y jf 1a n y l i t 7 ，J = 1 ，船誓= X j X if o ra n yf ，= 1 “2 一，m ；I 一乃y g f ，J > t y f y ，2tY j Y ff f ，1x i y j = y j x 。f o rT h ec o a l g e b r as t r u c t u r ei sg i v e nb y( g ) = g o g ，A ( x f ) = 1 0 t + x l0 1，A ( y J ) = 1oy J + y ，og ，占( g ) = l ，占( 誓) = 0S ( y J ) = 一Y j g ，f o ra n yi = l ，m ；= 1 ，g ·，e ( y j ) = 0 ，S ( g ) 2g ，S ( x i ) = 一x j ，I np a r t i c u l a r ，i f 聊= g = 0 ，t h e nt h ea l g e b r ak G k Q f i z 。】i se x a l yt h e2 - d i m e n s i o n a lg r o u pa l g e b r ak G T h e o r e m5 2S u p p o s eG = D 2 =( 口，6 la 2 = 6 2 = 1 ，以b = b 口i sad i h e d r a lg r o u p L e tkb eaf i x e df l e l dw i t hc h a r ( k ) 2 ，rb ear a m i f i c a t i o nd a t ao fG ，a n dQ = ( G ，) b et h ec o r r e s p o n d i n gH o p fq u i v e r A s s u m e2m 0a n d名= r b = r b 。= 0 L e tt j ：k = ( k l ，心，岛) N 3k l 心岛o ，岛+ 如+ 岛1 ) ，P ( i ，3 ) b em en 础e r 。fp a r t i t i o n sf o rit 。b et h es u m 。fn 。n - n e g a t i V ei n t e g e r sa n d( R 。，3 ) ：1 + P ( 1 ，3 ) + 尸( 2 ，3 ) + + P ( m ，3 ) T h e nt h ep a t hc 。a l g e b r a 七Q 。e x a c l Y吴美云交换群上的H O P F 路余代数的结构分类二a d m i t s ( 尺。，3 ) n o n i s o m o r p h i cg r a d e dH o p fa l g e b r a 七Q 。( 口肌) ，k 夏1 ) T h ek G a c t i o no nt h ek G H o p f b i m o d u l e ( 坞，口舰) ，k = ( 毛，k 2 ，岛) t ) i sg i v e nb y呸= 口：，6 _ = 以j ，誓6 = j 差。即= 繁三 0a n d_ = 2r 0 。= 0 L e t互名) = 尼= ( 矗，k 2 ，坞) N 3l 墨+ 乞+ k 3 名) T h e np a t hc 。a l g e b r ak Q 。e x a c t l ya d m i t s ( n - j + 1 ) P ( j ，2 ) n o n 。i s o m o r p h i cg r a d e dH o p fa l g e b r as t r u c t u r e sj = 0尼Q 。( a 肌) ，k t 名) ，w h e r eP ( j ，2 ) b et h en u m b e ro fp a r t i t i o n sf o r jt ob et h es u mo f喇i v e i n t e s e r s ，力= 1 2 孚+ 1j 皿i se 训v e n m 肛a c t i o n ek G H o p f b i m o d u l e ( 尼Q 1 ，a 欣)，k = ( 矗，镌，岛) 五乞) i sg i v e nb y即础批碱地6 学f 一口留垆2t 口留1 J 霸+ 如墨+ k 2 > 0a n d1 ：。= 0 L e t 五，曙) = 尼= ( k l ，k 2 ，屯，k 4 ，k 5 ，k 6 ) N 6I 毛+ k 2 + 乜名，k 4 + k 5 + k 6 0 ，名= 0 ，则路余代数坦。有m + 1 个互不同构的分次H o p f 代数结构k Q 。( a 厶) ，0 门聊k G 在H 。p f 双模( 蛔，口厶) ，。珂聊上的模作用为髓= 日墨，誓g = 【- 嗽Gm 咒> f i > 1 n ，其中x i = 以船Q 1 ，i = 1 ，m H o p f 路余代数尼Q 。( a 厶) ，0 ，2 聊的子H o p f 代数k G I 蝈，O f - z I ，0 ，2 聊作为代数的生成元是：g ，一，i = 1 ，2 ，聊生成关系为：9 2 _ l ，粥= 善芝三：2 ：”孙，f ，一，2 ，m 余代数结构为：( g ) = gOg ，( x 。) = 1O 一+ x f0 1 ，占( g ) = 1 ，占( 誓) = 0 ，S ( g ) = g ，S ( x 。) = 一X f ，i = 1 ，m 证明：因为= > 0 ，名= O ，Q = ( G ，r ) 是对应的H o p f q u i v e r ，则1 Q ? ：a ( 0 i = 1 ，m ) ，s 饼= a ( i ) i = 1 ，聊) ，1 饼，g
