(一)函数及其性质
1（一）函数及其性质（一）函数及其性质一、函数一、函数图图象的象的对对称性称性 1、一条曲、一条曲线线自身的自身的对对称性称性方法方法：由条件可得到曲线上相应的两个动点，分析这两个动点之间的对称性。例 1、若 f(1+x)= f(3-x)，则函数 y=f(x)关于 对称。解：设 f(1+x)=m，则 f(3-x)=m，说明点A(1+x，m)与 A(3-x，m)都在函数 y=f(x)的曲线上，显然点 A 与 A关于直线 x=2 对称，所以函数y=f(x)的曲线关于直线 x=2 成轴对称（因为点 A与 A为曲线上的动点）。例 2、若 f(1+x)+ f(3-x)=6，则函数 y=f(x)关于 对称。2、两条曲、两条曲线线之之间间的的对对称性称性方法：先把其中一条曲线的方程“整形”为另一条曲线方程的“形式”，再利用置换思想寻找两条曲线上的对应点即可。例 3、曲线 C1：y= f(1+x)与曲线 C2：y= f(3-x)之间关于 对称。解：曲线 C1：y= f(1+x)即为：C1：y= f3-(2-x)（把 C1整形为了 C2的形式）这说明如果点A(x,y)在曲线 C1上，那么 A(2-x，y)必在 C2上，而点 A 与 A恒关于直线 x=1 对称，所以曲线C1与 C2关于直线 x=1 成轴对称（因为点 A 与A分别为曲线 C1与曲线 C2上的动点）。例 4、曲线 C1：y= f(1+x)与曲线 C2：y=6-f(3-x)之间关于 对称。2练习练习： ： 1、若 f(3-x)= f(5+x)，则函数 y= f(x)的图象关于 对称；2、曲线 C1：y= f(3-x)与曲线 C2：y= f(5+x)关于 对称；3、若 f(1-x)+ f(x-7)=0，则函数 y= f(x)的图象关于 对称；4、若 f(2+x)+ f(4-x)+8=0，则函数 y= f(x)的图象关于 对称；5、曲线 C1：y= f(2x-1)与曲线 C2：y= f(3-2x)关于 对称；6、曲线 C1：y= f(3+x)与曲线 C2：y=4- f(1-x)关于 对称；7、曲线 C1：y=与曲线 C2：之间关于 对称。x2logxy21log4二、函数的周期性二、函数的周期性 定义：对于函数 f(x)，若存在非零常数 T，使得对于定义与中的任意一个 x 值都 有 f(x+T)= f(x)，则称 f(x)是以 T 为周期的周期函数。例如 f(x)=2， f(x)=， f(x)=(x-2k)2，x2k-1，2k+1，kZ 01 )()(QCxQxR例 1、已知函数 f(x)满足下列条件，求其相应的周期：f(x+2)= - f(x)，则 T= 4 ；，则 T= 4 ；)(1)2(xfxf，则 T= 6 ；，则 T= 4 ； 11)3(xfxfxf 5435)2(xfxfxf，则 T= 12 ；，则 T= 12 。 xfxfxf11)3( 11)3(xfxfxf3例 2、若 f(x)为奇函数， f(x+c)为偶函数(c>0)，求证：函数 y=f(x)为周期函数。例 3、若函数 f(x)既关于点 M(a，b)对称，又关于直线 x=c 对称，其中 ac， 求证：函数 y=f(x)为周期函数。例 4、若函数 f(x)既关于直线 x=a 对称，又关于直线 x=b 对称，其中 ab， 求证：函数 y=f(x)为周期函数。例 5、已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对于 xR 恒有 f(3-x)= f(x-1)，当 x(0，2)时，f(x)=x2-2x+1. 求 f(10)与 f(10.5)的值；当 x-2，2时，求 f(x)的解析式； 当 xR 时，求 f(x)的解析式。【解】：，(2)()( )f xfxf x (4)( )4f xf xT，(10)(2)(0)0fff 1 4(10.5)(2.5)(0.5)fff ，当时，( 2)(2)0ff( 2,0)x (0,2)x 4这时22( )()2121f xfxxxxx 22(1)( )0(1)xf xx (0,2)(2,0,2) ( 2,0)xx x 22(21)( )0(21)xkf xxk (2 ,22)2(22,2 )xkkxkxkk()kZ练习练习 1、已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对于 xR 恒有 f(x-3)= f(5-x)，当 x(0，1)时，f(x)=2x，求 f()的值。0.5log96【解】：，(2)()( )f xfxf x (4)( )4f xf xT，6729620.52log96log 96( 7, 6) 则=0.5222(log96)( log 96)(log 96)(log 966)ffff 33 2 22(log)f2、已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：=+， （0）()f xa21)()(2xfxfa求证：f(x)是以 2为周期的周期函数(IMO105)。a【解】：21 2(2 )()()f xaf xafxa222111 222( )( )( )( )f xfxf xfx222111 224( )( )( )( )( )( )f xfxf xfxf xfx ，221111 2422( )( )( )( )f xfxf xf x1 2( )f x Q53、已知定义在 R 上的偶函数 f(x)，恒有 f(x)= f(2-x)，当 x时，0,1( )2xf x 求 f(2013)的值；当 xR 时，求 f(x)的解析式。【解】：(2)()( )2f xfxf xT(2013)(1)2ff当时， 1,0x 1 2( )()2( )xxf xfx 21 2 2( )( )2xkxkf x (21,2 ) (2 ,21)xkk xkk 三、函数的三、函数的单调单调性性 例 1、已知定义在 R 上的函数满足：对于任意的都有( )f x, x yR ，且当时，( )( )()f xf yf xy0x ( )1f x 求的值；(0)f求证：在 R 上是增加的；( )f x若当时，恒有成立，求实数的取值范围。1,2x2(21)1fxaxa【解】：，又，(1)(0)(1 0)fff(1)1f(0)1f设任意的，有12xx212111()()()()f xf xfxxxf x2111211()()() () 1()f xxf xf xf xxf x显然，以下只需证明恒有即可21()1f xx( )0f x （方法一）：（方法一）：当时，0x ( )10f x 当时，有0x (0)10f 当时，有，又，0x ()10fx ( )()(0)1f xfxf( )0f x 故当时，恒有成立xR( )0f x 6（方法二）：（方法二）：，只需即可2 2( ) ( )0xf xf( )0f x 假设存在使得，则存在正数 m，使得0x0()0f x0()1f xm又，矛盾，故00()()( )0f xmf xf m( )0f x 或者，2 2121 1()()1()()()f xf xxf xf xf x 略例 2、已知定义在上的函数满足：对于都有(0,)( )f x,(0,)x y ，且当时，()( )( )f xyf xf y1x ( )0f x 求的值；(1)f求证：在上是增加的；( )f x(0,)解不等式(23)0fx【解】：取得：1xy(1)(1)(1)(1)0ffff设，120xx2 21 1()()0xf xf xfx3 2(23)0(23)(1)02312fxfxfxx 【练习】1、若，则（ ）25log 3log 3xy25log 3log 3yx(A)x-y0 (B)x+y0 (C)x-y0 (D)x+y0 (99 联赛题)2、已知实数、b 满足：，求的值。a326154aaa3261524bbbab【解】： 32326151410 6151410aaa bbb 1 2（ （7设322( )61514(2)(47)(2)(2)3f xxxxxxxxx，设为奇函数，且单调递增3(2)3(2)xx3( )3g ttt由（1）， （2）知：33( )( )(2)3(2)(2)3(2)f af baabb (2)(2)224g agbabab3、已知定义在上的函数满足：对于都有(0,)( )f x,(0,)x y ，且当时，且()( )( )f xyf xf y1x ( )0f x (2)1f求与的值；(1)f(8)f求证：；1( )( )xff x 求证：在上是增加的；( )f x(0,)解不等式( )3(2)f xf x4、设 f(n)是定义在正整数集上取非负整数值的函数，f(2)=0，f(3)>0，f(9999) =3333，且对所有的 m、n 都有：的值为 0 或 1。()( )( )f mnf mf n 求：f(2003)的值（IMO231）。【解法一】：的值为 0 或 1()( )( )f mnf mf n0， 取 m=1 有()( )( )f mnf mf n(1)( )(1)( )f nf nff n为非减函数，( )f x(1)(2)0(1)0fff又， （）0(3)(2)(1)1(3)1ffff (3)0f这时：(2003)(3 6672)667 (3)(2)667ffff若，(2003)668f则：(9999)(4 2003662 32)4 (2003)662 (3)(2)fffff ，与，故4 6686623334(9999)3333f(2003)667f【解法二】：易知，(1)(2)0ff(3)1f或 1，则：或 2，(3)( )(3)0f mf mf(3)( )1f mf m8相加得：12(3)( )1(6)(3)1(3 )(3(1)1nf mf mtf mf mtf mnf mnt L L L L L L L L1(3 )( ),()nf mnf mnt tttL，123332(33 3332)(3)3332()ffttt L又，(9999)3333(33 3332)(3)3332fff 1233320tttL即1233320tttL当时有：39999mn(3 )( )f
