向量与概率统计
1向量向量知识清单知识清单 一、向量的有关概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有 向线段的长度). 2.向量的表示方法:字母表示法:如等., , ,a b cr r rL几何表示法:用一条有向线段表示向量.如,等.ABuuu rCDuuu r坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量的起点 O 为在坐标原点,终点 A 坐标为OAuu u r,则称为的坐标,记为=., x y, x yOAuu u rOAuu u r, x y注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具. 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量与相等,记为.arbrabrr注:向量不能比较大小,因为方向没有大小. 4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的. 5.单位向量:长度等于 1 个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:与任一向量共线.0r注:共线向量又称为平行向量. 7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 二、向量的运算 (一)运算定义 向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义. 其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运 算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实 是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐 标化.刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言+=OA OB OC=OB OA AB记=(x1,y1),=(x1,y2)OA OB则=(x1+x2,y1+y2)OA OBuuu ruuu r=（x2-x1,y2-y1）OBOAuuu ruuu r加法与 减法+=OA AB OB2实数与 向量的 乘积=AB aR记=(x,y)a则 =(x,y)a两个向 量的数 量积cos,a ba ba b r rrrr r 记1122( ,),(,)ax ybxyrr则·=x1x2+y1y2a b(二)运算律加法：(交换律); (结合律)abbarrrr()()abcabcrrrrrr实数与向量的乘积：; ;()ababrrrr ()aaarrr()()aa rr两个向量的数量积: ·=· ()·=·()=(·);(+)·a b b a a b a b a b a b=·+·c a c b c注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正 确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(±)2=a b222aa bb (三)运算性质及重要结论平面向量基本定理:如果是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一12,e eu r u u r向量,有且只有一对实数,使，称为的线性组合。ar12, 1 122aeeru ru u r1 122eeu ru u r12,e eu r u u r其中叫做表示这一平面内所有向量的基底;12,e eu r u u r平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和,并且这种分12,e eu r u u r解是唯一的.这说明如果且,那么.1 122aeeru ru u r'' 1 122aeeru ru u r1122当基底是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本12,e eu r u u r定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若 A(x，y)，则=（x,y） ；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点 OA AB坐标，即若 A（x1,y1） ，B（x2,y2） ，则=(x2-x1,y2-y1) AB两个向量平行的充要条件符号语言：)0(/ bbaba坐标语言为：设非零向量,则(x1,y1)=(x2,y2)，1122,abx yxyrra b 3即,或 x1y2-x2y1=0, 在这里,实数 是唯一存在的,当与同向时,>0；当与1212xxyy a b a异向时,<0。|=, 的大小由及的大小确定。因此,当,确定时， 的符b|b|a| a b a b号与大小就确定了.这就是实数乘向量中 的几何意义。 两个向量垂直的充要条件符号语言： ba0 ba坐标语言：设非零向量，则1122,abx yxyrr ba02121yyxx两个向量数量积的重要性质： 即 (求线段的长度);22 | aa2 | aa(垂直的判断); ba0 ba (求角度)。cosa bab r rrr以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向 量知识的重要价值.注:两向量,的数量积运算结果是一个数(其中),这个数的大小与a b cosabrr, a br r两个向量的长度及其夹角的余弦有关.叫做向量在方向上的投影（如图）.cosbrbrar数量积的几何意义是数量积等于的模与在方向上的投影的积.a br rgar brar如果,则=,111( ,)P x y222(,)P xy12PPuuu u r2121(,)xx yy,这就是平面内两点间的距离公式.22 122121()()PPxxyyuuu u r概率概率1.随机事件（ ）必然事件 ，不可能事件 ，110PP)( )（ ）包含关系：，“ 发生必导致 发生”称 包含 。2ABABBA4A B （ ）事件的和（并）：或“ 与 至少有一个发生”叫做 与3ABABABABU的和（并） 。（ ）事件的积（交）： · 或“ 与 同时发生”叫做 与 的积。4ABABABABI（5）互斥事件（互不相容事件）：“A 与 B 不能同时发生”叫做 A、B 互斥。AB· （6）对立事件（互逆事件）：“ 不发生”叫做 发生的对立（逆）事件，AAAAAAAUI，（7）独立事件：A 发生与否对 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事 件。ABABABAB与 独立， 与 ， 与 ， 与 也相互独立。2. 对某一事件概率的求法：分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即P AAm n( ) 包含的等可能结果 一次试验的等可能结果的总数5（ ）若 、 互斥，则2ABP ABP AP B( )( ) （ ）若 、 相互独立，则··3ABP ABP AP B（ ）41P AP A()( )3. 古典概型 具有以下两个特点的概率模型为古典概型： (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等.( )AP A 事事件件包包含含的的基基本本事事件件个个数数 试试验验的的所所有有基基本本事事件件的的总总数数4.几何概型 定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这 样的概率模型为几何概率模型 2)几何概型的特点 试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； 每个基本事件出现的可能性相等 3）几何概型的概率公式 统计统计1. 抽样方法主要有：简单随机抽样简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它 的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成 若干部分，每部分只取一个；分层抽样分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有 明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。2. 对总体分布的估计用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差 去估计总体的期望和方差。要熟悉样本频率直方图的作法：（ ）算数据极差；1xxmaxmin（2）决定组距和组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）画频率直方图。其中，频率小长方形的面积组距×频率 组距()( )()AP A 构成事件的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积6样本平均值：xnxxxn112样本方差：Snxxxxxxn2 12 2221
