江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数学试题

江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数 学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1使用斜二测画法作一个五边形的直观图，则直观图的面积是原来五边形面积的A倍B倍C倍D倍 2已知，是两个不共线的单位向量，向量，则“且”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 3已知等差数列的前项和为，则ABCD 4设为虚数单位，若复数为纯虚数，则ABCD 5甲、乙、丙、丁四人参加书法比赛，四人对于成绩排名的说法如下甲说：“乙在丙之前”，乙说：“我在第三名”，丙说：“丁不在第二名，也不在第四名”，丁说：“乙在第四名”若四人中只有一个人的说法是错误的，则甲的成绩排名为A第一名B第二名C第三名D第四名 6已知为抛物线上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为A BCD 7若全集为，定义集合与的运算：，则ABCD 8设，则ABCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9若，为正整数且，则A BCD10设函数，则A是偶函数B在上单调递增C的最小值为D在上有个零点11已知圆：，点是所在平面内一定点，点是上的动点，若线段的中垂线交直线于点，则的轨迹可能为A椭圆B双曲线C抛物线D圆三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12有一组从小到大排列的数据：3，5，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为_13围棋起源于中国，至今已有多年的历史在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算假设大小为的眼有口气，大小为的眼有口气，则与满足的关系是，则的通项公式为_14若，四点均在同一球面上，是边长为的等边三角形，则面积的最大值为_，四面体体积取最大值时，球的表面积为_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13分）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，二面角为直二面角（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值16（15分）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：每次祈愿获取五星角色的概率；若连续次祈愿都没有获取五星角色，那么第次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数（1）求的概率分布；（2）求的数学期望参考数据：17（15分）已知函数，其中（1）若，证明；（2）讨论的极值点的个数18（17分）已知等轴双曲线的顶点分别为椭圆：的焦点，（1）求的方程；（2）若为上异于顶点的任意一点，直线，与椭圆的交点分别为，与，求的最小值19（17分）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用设，是直线上互异且非无穷远的四点，则称（分式中各项均为有向线段长度，例如）为，四点的交比，记为（1）证明：；（2）若，为平面上过定点且互异的四条直线，为不过点且互异的两条直线，与，的交点分别为，与，的交点分别为，证明：；（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若与的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则与对应边的交点在一条直线上江苏省四校联合2024届新题型适应性考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D2A3C4B5B6C7A8D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9AD10ABC11ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。127.51314；四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15解：（1）在四棱锥中，因为二面角为直二面角，所以平面平面，因为底面为正方形，所以，而平面，平面平面，所以平面，而平面，所以，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以；（2）分别取，中点为，连接，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，以为坐标原点，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设是平面的一个法向量，则，即，不妨取，则是平面的一个法向量设直线与平面的夹角为，则所以直线与平面所成的角的正弦值为16解：（1）将每次祈愿获取五星角色的概率记为，的所有可能取值为，从而，所以的概率分布为（2）的数学期望，因为，所以17解：（1）当时，当时，单调递减；当时，单调递增，从而；（2）由题意知，函数的定义域为，设，显然函数在上单调递增，与同号，当时，所以函数在内有一个零点，所以函数在上有且仅有一个极值点；当时，由第（1）问知，函数在上有且仅有一个极值点；当时，因为，所以，又，所以函数在内有一个零点，所以函数在上有且仅有一个极值点；综上所述，函数在上有且仅有一个极值点18解：（1）椭圆的，故，设等轴双曲线的方程为，将带入求得，故等轴双曲线的方程为；（2） 设直线的方程为，直线的方程为，点，的坐标分别为，联立直线与椭圆：，得，从而，联立直线与椭圆：，得，从而，联立直线与：，得，又在双曲线上，带入得，化简得从而，当且仅当，即时取等，故的最小值为19解：（1）；（2）； 第（2）问图第（3）问图（3）设与交于，与交于，与交于，连接，与交于，与交于，与交于，欲证，三点共线，只需证在直线上考虑线束，由第（2）问知，再考虑线束，由第（2）问知，从而得到，于是由第（2）问的逆命题知，交于一点，即为点，从而过点，故在直线上，三点共线