限时集训(五十一) 抛 物 线
限时集训(五十一) 抛 物 线(限时：45 分钟 满分：81 分)一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1抛物线 x2(2a1)y 的准线方程是 y1，则实数 a( )A. B.5232C D12322已知抛物线 y24x，若过焦点 F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于 A，B 两点，O 是坐标原点，则OAB 的面积是( )A1 B2C4 D63直线 yx1 截抛物线 y22px 所得弦长为 2，此抛物线方程为( )6Ay22x By26xCy22x 或 y26x D以上都不对4已知点 M(1,0)，直线 l：x1，点 B 是 l 上的动点，过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BM 的垂直平分线交于点 P，则点 P 的轨迹是( )A抛物线 B椭圆C双曲线的一支 D直线5(2013·湛江模拟)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆 x2y22x6y90 圆心的抛物线方程是( )Ay3x2或 y3x2 By3x2Cy29x 或 y3x2 Dy3x2或 y29x6(2013·衡水模拟)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2ax(a0)的焦点 F，且和 y 轴交于点 A，若OAF(O 为坐标原点)的面积为 4，则抛物线的方程为( )Ay2±4x By2±8xCy24x Dy28x二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)7以抛物线 x24y 的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是_8(2013·厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线 y24x 上，且动圆恒与直线 x1 相切，则此动圆必过定点_9(2012·安徽高考)过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点若|AF|3，则|BF|_.三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分)10已知圆 C 过定点 F，且与直线 x 相切，圆心 C 的轨迹为 E，曲线 E 与(14，0)14直线 l：yk(x1)(kR)相交于 A，B 两点(1)求曲线 E 的方程；(2)当OAB 的面积等于时，求 k 的值1011.若椭圆 C1：1(00)的焦点在x24y2b232椭圆 C1的上顶点(1)求抛物线 C2的方程；(2)若过 M(1,0)的直线 l 与抛物线 C2交于 E，F 两点，又过 E，F 作抛物线 C2的切线l1，l2，当 l1l2时，求直线 l 的方程12(2013·珠海模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，设点 F，直线 l：x ，点 P(12，0)12在直线 l 上移动，R 是线段 PF 与 y 轴的交点，RQFP，PQl.(1)求动点 Q 的轨迹方程 C；(2)设圆 M 过 A(1,0)，且圆心 M 在曲线 C 上，TS 是圆 M 在 y 轴上截得的弦，当 M 运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由限时集训(五十一) 抛 物 线答 案1D 2.B 3.C 4.A 5.D 6.B7x2y24 8.(1,0) 9.3210解：(1)由题意，点 C 到定点 F和直线 x 的距离相等，(14，0)14故点 C 的轨迹 E 的方程为 y2x.(2)由方程组Error!消去 x 后，整理得 ky2yk0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理有 y1y2 ，1ky1y21.设直线 l 与 x 轴交于点 N，则 N(1,0)SOABSOANSOBN|ON|y1| |ON|y2|，1212 |ON|y1y2|12·1·12y1y224y1y2 .12(1k)24SOAB，所以 ，解得 k± .1012(1k)24101611解：(1)已知椭圆的长半轴长为 a2，半焦距 c，4b2由离心率 e 得，ca4b2232b21.则椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，所以 p2，抛物线的方程为 x24y.(2)由题知直线 l 的斜率存在且不为零，则可设直线 l 的方程为 yk(x1)，F(x2，y2)，Ex1，y1y x2，y x.1412切线 l1，l2的斜率分别为 x1，12x2，当 l1l2时， x1· x21，即 x1·x24，121212由Error!得 x24kx4k0，则 (4k)24×(4k)>0，解得 k0.又 x1·x24k4，得 k1.直线 l 的方程为 yx1.12.解：(1)依题意知，点 R 是线段 FP 的中点，且 RQFP，RQ 是线段 FP 的垂直平分线|PQ|是点 Q 到直线 l 的距离点 Q 在线段 FP 的垂直平分线上，|PQ|QF|.故动点 Q 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为 y22x(x>0)(2)弦长|TS|为定值理由如下：取曲线 C 上点 M(x0，y0)，M 到 y 轴的距离为 d|x0|x0，圆的半径 r|MA|，x012y2 0则|TS|22，r2d2y2 02x01因为点 M 在曲线 C 上，所以 x0，y2 02所以|TS|22，是定值y2 0y2 01
