专题05 难点探究专题：二次函数中求线段最值问题-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题

2023-2024学年九年级数学下册常考压轴题专题05难点探究专题：二次函数中求线段最值问题姓名：_ 班级：_ 学号：_【考点导航】目录【典型例题】1【考点一 利用二次函数求单线段最值问题】1【考点二 二次函数中的将军饮马型最值问题】7【考点三 二次函数中的胡不归最值问题】22【典型例题】【考点一 利用二次函数求单线段最值问题】例题：（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴(1)求抛物线的表达式；(2)求线段长度的最大值【变式训练】1（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线的顶点为P，过点P分别作x轴，y轴的垂线交于点M，Q，直线交x轴于点N  (1)若点P在y轴的左侧，且N为中点，求抛物线的解析式；(2)求线段长的最小值，并求出当的长度最小时点P的坐标；(3)若P，M，N三点中，任意两点都不重合，且，求m的取值范围2（2023秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）如图，已知抛物线图象经过点，且对称轴为直线  (1)求抛物线的解析式；(2)若是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作交AC于E，交于F求C点坐标；求证：四边形是矩形；连接，线段的长是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由【考点二 二次函数中的将军饮马型最值问题】例题：（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）已知：二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上  (1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值；(3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标【变式训练】1（2023秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C，对称轴为直线  (1)点B的坐标为_(2)求抛物线的解析式(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由2（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点,与y轴交于点C，直线交抛物线于点E，且  (1)求抛物线的解析式；(2)若点M为直线上一点，点N为直线EC上一点，求的最小值；(3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由3（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1所示，已知直线与抛物线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点和点，且抛物线的对称轴为直线  (1)请分别求出k，m，a，b的值；(2)如图2，点Q是线段上一点，且，点M是y轴上一个动点，求线段的最小值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由4（2023春·广东湛江·九年级湛江市第二中学校考阶段练习）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点(1)求抛物线的解析式(2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标和的周长的最小值，若不存在，请说明理由(3)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M的横坐标5（2023·广东佛山·二模）已知抛物线经过点和点，与轴交于点(1)求该抛物线的表达式；(2)如图1，在对称轴上是否存在一点，使的周长最小若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图2，设点是对称轴左侧该抛物线上的一点，点在对称轴上，当为等边三角形时，请直接写出符合条件的直线的函数表达式【考点三 二次函数中的胡不归最值问题】例题：（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点与y轴交于点(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由【变式训练】1（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴分别交于点和点，且，  (1)求抛物线解析式(2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由(3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由2（2023·山东济南·统考三模）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为，点C的纵坐标为3  (1)求该抛物线的解析式，并写出其对称轴；(2)设点P是抛物线对称轴第一象限部分上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点A的对应点为D，若点D恰好落在该抛物线上，求点P的坐标；(3)如图2，连接，若点是直线上方抛物线上一点，点为轴上一点，当面积最大时，求的最小值3（2023·四川巴中·统考一模）如图1，已知抛物线经过点和点B，且与y轴交于点C，直线经过B点和点C(1)求直线和抛物线的解析式(2)若点P为直线BC上方的抛物线上一点，过点P作于点E，作轴，交直线BC于点F，当的周长最大时，求点P的坐标(3)在第（2）问的条件下，直线CP上有一动点Q，连接BQ，求的最小值4（2023·江苏镇江·校联考一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为点D(1)求二次函数表达式和点D的坐标；(2)连接、，求外接圆的半径；(3)点P为x轴上的一个动点，连接，求的最小值；(4)如图2，点E为对称轴右侧的抛物线上一点，且点E的纵坐标为，动点M从点C出发，沿平行于x轴的直线a向右运动，连接，过点M作的垂线b，记直线b与抛物线对称轴的交点为N，当直线b与直线a重合时运动停止，请直接写出点N的运动总路程42参考答案【典型例题】【考点一 利用二次函数求单线段最值问题】例题：(1)；(2)8【分析】（1）先求出抛物线：的顶点坐标为，然后求出点关于对称后的点坐标为，再抛物线的解析式为：；（2）先求出A、B两点横坐标分别为和，设，其中，则，求出最大值即可【详解】（1）解：抛物线：的顶点坐标为，点关于对称后的点坐标为，抛物线与抛物线关于成中心对称，抛物线的解析式为：（2）解：抛物线：与：交于A、B，令，解得：或，则A、B两点横坐标分别为和，设，其中，则，当时，最大为8【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，中点坐标公式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合，利用对称的特征，再根据顶点情况求解析式以及根据二次函数解析式求最大值【变式训练】1（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线的顶点为P，过点P分别作x轴，y轴的垂线交于点M，Q，直线交x轴于点N  (1)若点P在y轴的左侧，且N为中点，求抛物线的解析式；(2)求线段长的最小值，并求出当的长度最小时点P的坐标；(3)若P，M，N三点中，任意两点都不重合，且，求m的取值范围【答案】(1)(2)的最小值为，点P的坐标为；(3)m的取值范围是或或【分析】（1）先求得顶点，再得到，根据N为中点，列式计算即可求解；（2）计算得到，推出，得到利用二次函数的性质即可求解；（3）确定和时，不合题意；再分时和两种情况讨论，画出图形，数形结合即可求解【详解】（1）解：抛物线的顶点为P，轴，N为中点，解得，点P在y轴左侧，抛物线的解析式为；（2）解：由，解得，所以当时，所以，轴，轴，当时，的值最小，最小值为，此时点P的坐标为；（3）解：当时，M，N重合，不合题意；当时，P，N重合，不合题意；当时（如图），  ，符合题意；当时（如图），  由，解得，又，当或时，的值大于0，即；综上可知，m的取值范围是或或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，中点公式的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键2（2023秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）如图，已知抛物线图象经过点，且对称轴为直线  (1)求抛物线的解析式；(2)若是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作交AC于E，交于F求C点坐标；求证：四边形是矩形；连接，线段的长是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)点C坐标为见解析存在，的最小值是2【分析】（1）把点A的坐标和对称轴代入解析式求解即可；（2）把点的坐标代入抛物线解析式求解即可；先求点B的坐标，再证为直角三角形，最后再证四边形是矩形；利用矩形的对角线相等，求出的最小值即可；【详解】（1）解：（1）的对称轴为直线，把点代入，得：，解得，抛物线的解析式为：；（2）解：把代入抛物线得：，解得：，位于第一象限，点C坐标为；  证明：令y=0，则，解得：，又；，为直角三角形，又，四边形是平行四边形，平行四边形是矩形；存在；连接，过C点作，垂足为H，  四边形是矩形，当时，的值最小，的最小值等于，的最小值是2【点睛】本题考查了二次函数与矩形的综合，矩形的判定和性质，勾股定理及逆定理，垂线段的性质，熟练运用这些性质是解题的关键【考点二 二次函数中的将军饮马型最值问题】例题：（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）已知：二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上  (1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值；(3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标【答案】(1)(2)(3)符合题意的点坐标为：或或或【分析】（1）将A、D点代入抛物线方程，即可解出b、c的值，抛物线的解析式可得；（2）点C、D关于抛物线的对称轴对称，连接，点P即为AC与对称轴的交点，的最小值即为AC的长度，用勾股定理即可求得AC的长度；（3）求得B点坐标，设点坐标，利用三角形面积公式，即可求出m的值，点的坐标即可求得【详解】（1）解：因为二次函数的图象经过，所以，解得所以二次函数解析式为；（2）解：抛物线对称轴，、关于轴对称，连接与对称轴的交点就是点，  此时最小，；（3）解：设点坐标，令，解得或