（江苏专用）高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第10练 化解抽象函数快捷有效的几个途径 理

第10练化解抽象函数快捷有效的几个途径题型一与抽象函数有关的函数性质问题例1已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的_条件破题切入点周期函数的概念，同时考查单调性及充要条件答案充要解析f(x)在R上是偶函数，f(x)的图象关于y轴对称f(x)为0,1上的增函数，f(x)为1,0上的减函数又f(x)的周期为2，f(x)为区间14,043,4上的减函数f(x)为3,4上的减函数，且f(x)的周期为2，f(x)为1,0上的减函数又f(x)在R上是偶函数，f(x)为0,1上的增函数由知“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的充要条件题型二与抽象函数有关的函数零点问题例2设函数f(x)在R上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0，则方程f(x)0在闭区间2 011,2 011上的根的个数为_破题切入点将条件转化为我们所熟悉的知识答案805解析f(7x)f(7x)f(2(5x)f(2(5x)f(3x)，即f(x10)f(x)，所以函数的周期为10，且对称轴为x2，x7，在0,10内，f(1)f(3)f(11)f(13)，所以一个周期内只有2个零点，在0,2 011内2 011201×101有201×21403个，在2 011,0内2 011201×(10)1，有201个周期且f(1)0，此时有201×2402个零点，合计805.题型三与抽象函数有关的新概念问题例3设V是全体平面向量构成的集合若映射f：VR满足：对任意向量a(x1，y1)V，b(x2，y2)V，以及任意R，均有f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，则称映射f具有性质P，现给出如下映射：f1：VR，f1(m)xy，m(x，y)V；f2：VR，f2(m)x2y，m(x，y)V；f3：VR，f3(m)xy1，m(x，y)V.其中，具有性质P的映射为_(写出所有具有性质P的映射的序号)破题切入点准确把握性质P的含义答案解析a(x1，y1)，b(x2，y2)，a(1)b(x1(1)x2，y1(1)y2)对于，f1(m)xy，f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)·y2(x1y1)(1)(x2y2)，而f(a)(1)f(b)(x1y1)(1)(x2y2)，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，具有性质P.对于，f2(m)x2y，设a(0,0)，b(1,2)，a(1)b(1，2(1)，f(a(1)b)(1)22(1)243，而f(a)(1)f(b)(020)(1)(122)3(1)，又是任意实数，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，故不具有性质P.对于，f3(m)xy1，f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y21(x1y1)(1)(x2y2)1，又f(a)(1)f(b)(x1y11)(1)(x2y21)(x1y1)(1)(x2y2)(1)(x1y1)(1)(x2y2)1，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)具有性质P.综上，具有性质P的映射的序号为.总结提高(1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法，因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关，把握好函数的性质(2)解答抽象函数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等来代替函数来解答问题而导致出错，要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数而不是具体的某一个函数，因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法1设f(x)为偶函数，对于任意的x>0，都有f(2x)2f(2x)，已知f(1)4，那么f(3)_.答案8解析f(x)为偶函数，f(1)f(1)4，f(3)f(3)，当x1时，f(21)(2)·f(21)，f(3)(2)×48，f(3)8.2对于函数yf(x)，xR，“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的_条件答案必要不充分解析若函数yf(x)是奇函数，则f(x)f(x)此时|f(x)|f(x)|f(x)|，因此y|f(x)|是偶函数，其图象关于y轴对称，但当y|f(x)|的图象关于y轴对称时，未必能推出yf(x)为奇函数，故“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的必要不充分条件3若f(x)为奇函数，且在(，0)内是增函数，又f(2)0，则xf(x)<0的解集为_答案(2,0)(0,2)解析因为f(x)为奇函数，且f(2)0，所以f(2)0.作出f(x)大致图象，如图所示，由图象可知：当2<x<0时，f(x)>0，所以xf(x)<0；当0<x<2时，f(x)<0，所以xf(x)<0.故不等式xf(x)<0的解集为(2,0)(0,2)4已知函数f(x)满足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，则f(2 014)_.答案解析令x1，y0，由已知得f(0)，令xy1，则f(2)4f2(1)f(0)4×()2.取xn，y1，有f(n)f(n1)f(n1)，同理f(n1)f(n2)f(n)，联立，得f(n2)f(n1)，所以f(n3)f(n)，f(n6)f(n3)f(n)，所以函数f(x)的周期为6，f(2 014)f(335×64)f(4)4f2(2)f(0).故填.5已知函数yf(x)和yg(x)的定义域及值域均为a，a(常数a>0)，其图象如图所示，则方程f(g(x)0根的个数为_答案6解析由f(x)的图象可知方程f(x)0有三个根，分别设为x1，x2，x3，因为f(g(x)0，所以g(x)x1，g(x)x2或g(x)x3，因为a<x1<a，g(x)a，a，所以由g(x)的图象可知yx1与yg(x)的图象有两个交点，即方程g(x)x1有两个根，同理g(x)x2，g(x)x3各有两个根，所以方程f(g(x)0有6个根6如图，偶函数f(x)的图象如字母M，奇函数g(x)的图象如字母N，若方程f(f(x)0，f(g(x)0的实根个数分别为m，n，则mn_.答案12解析由图象可知偶函数f(x)的1个零点是0，另外2个零点分别在区间(2，1)与(1,2)中，值域是1,1；奇函数g(x)的1个零点是0，另外2个零点分别在区间(1,0)与(0,1)中，值域是2,2只有当f(x)0时，f(f(x)0，故实根个数m3.存在3个实数x，使g(x)0，f(g(x)0；存在3个实数x，使g(x)(2，1)，f(g(x)0；存在3个实数x，使g(x)(1,2)，f(g(x)0，故实根个数n9.从而mn12.7若对于定义在R上的函数f(x)，存在常数t(tR)，使得f(xt)tf(x)0对任意实数x均成立，则称f(x)是t阶回旋函数，则下列命题正确的是_(填序号)f(x)2x是阶回旋函数；f(x)sin(x)是1阶回旋函数；f(x)x2是1阶回旋函数；f(x)logax是0阶回旋函数答案解析对于函数f(x)sin x，由诱导公式可知当t1时满足f(x1)f(x)sin (x1)sin x0，故f(x)sin x是1阶回旋函数，正确8设yf(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x1)f(x)，且在1,0上是增函数，给出下列关于函数yf(x)的判断：yf(x)是周期函数；yf(x)的图象关于直线x1对称；yf(x)在0,1上是增函数；f()0.其中正确判断的序号是_答案解析由f(x1)f(x)可得f(x2)f(x)，正确；因为yf(x)是定义在R上的偶函数，可知yf(x)的图象关于直线x1对称，正确；显然错误；由f(1)f()f()f()得f()0，正确9函数f(x)的定义域为A，若x1，x2A且f(x1)f(x2)时总有x1x2，则称f(x)为单函数例如，函数f(x)2x1(xR)是单函数下列命题：函数f(x)x2(xR)是单函数；若f(x)为单函数，x1，x2A且x1x2，则f(x1)f(x2)；若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)答案解析当f(x)x2时，不妨设f(x1)f(x2)4，有x12，x22，此时x1x2，故不正确；由f(x1)f(x2)时总有x1x2可知，当x1x2时，f(x1)f(x2)，故正确；若bB，b有两个原象时，不妨设为a1，a2，可知a1a2，但f(a1)f(a2)，与题中条件矛盾，故正确；函数f(x)在某区间上具有单调性时整个定义域上不一定单调，因而f(x)不一定是单函数，故不正确故答案为.10(2013·湖南)设函数f(x)axbxcx，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且ab，则(a，b，c)M所对应的f(x)的零点的取值集合为_(2)若a，b，c是ABC的三条边长，则下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)x(，1)，f(x)>0；xR，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；若ABC为钝角三角形，则x(1,2)，使f(x)0.答案(1)x|0<x1(2)解析(1)c>a>0，c>b>0，ab且a，b，c不能构成三角形的三边，0<2ac，2.令f(x)0得2axcx，即x2.xlog2.log21.0<x1.(2)a，b，c是三角形的三条边长，ab>c