（江苏专用）高三数学一轮总复习 板块命题点专练（四）导数及其应用 理-人教高三数学试题

板块命题点专练(四) 导数及其应用1(2015·陕西高考)函数yxex在其极值点处的切线方程为_解析：由题知yexxex，令y0，解得x1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故切线方程为y.答案：y2(2015·陕西高考)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_解析：yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01，设P(m，n)，y(x0)的导数为y(x0)，曲线y(x0)在点P处的切线斜率k2(m0)，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1,1)答案：(1,1)3(2015·全国卷)已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.解析：法一：yxln x，y1，yx12.曲线yxln x在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行)由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.法二：同法一得切线方程为y2x1.设y2x1与曲线yax2(a2)x1相切于点(x0，ax(a2)x01)y2ax(a2)，yxx02ax0(a2)由解得答案：84(2015·四川高考)已知函数f(x)2x，g(x)x2ax(其中aR)对于不相等的实数x1，x2，设m，n，现有如下命题：对于任意不相等的实数x1，x2，都有m>0；对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n>0；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn.其中的真命题有_(写出所有真命题的序号)解析：对于，由f(x)2x的单调性可知f(x)2x在其定义域上单调递增，则有m>0，故正确对于，由g(x)x2ax的单调性可知g(x)x2ax在其定义域上先减后增，则存在n<0的情形，故错误对于，由mn，得f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)，即f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)令H(x)f(x)g(x)2xx2ax，求导可得H(x)2xln 22xa.令H(x)0，得2xln 22xa.(*)图(1)由图(1)易知，当a很小时，两图象无交点，故方程(*)无解，所以不一定存在x1，x2使得f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，故不正确对于，由mn，得f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)令F(x)f(x)g(x)2xx2ax，求导可得F(x)2xln 22xa，令F(x)0，图(2)得2xln 22xa.(*)由图(2)易知，两图象必有交点，故方程(*)必有解，所以一定存在x1，x2使得f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，故正确答案：5(2015·重庆高考)设函数f(x)(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围解：(1)对f(x)求导得f(x).因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知f(x)，令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0，解得x1，x2.当x<x1时，g(x)<0，即f(x)<0，故f(x)为减函数；当x1<x<x2时，g(x)>0，即f(x)>0，故f(x)为增函数；当x>x2时，g(x)<0，即f(x)<0，故f(x)为减函数由f(x)在3，)上为减函数，知x23，解得a.故a的取值范围为.1.(2015·安徽高考)设x3axb0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_(写出所有正确条件的编号)a3，b3；a3，b2；a3，b2；a0，b2；a1，b2.解析：令f(x)x3axb，则f(x)3x2a.当a0时，f(x)0，f(x)单调递增，正确；当a0时，若a3，则f(x)3x233(x1)(x1)，f(x)极大f(1)13bb2，f(x)极小f(1)13bb2，要使f(x)0仅有一个实根，需f(x)极大0或f(x)极小0，b2或b2，正确，不正确答案：2(2015·全国卷改编)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x>0时，xf(x)f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是_解析：设yg(x)(x0)，则g(x)，当x>0时，xf(x)f(x)<0，g(x)<0，g(x)在(0，)上为减函数，且g(1)f(1)f(1)0.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，g(x)的图象的示意图如图所示当x>0时，由f(x)>0，得g(x)>0，由图知0<x<1，当x<0时，由f(x)>0，得g(x)<0，由图知x<1，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)答案：(，1)(0,1)3(2015·全国卷)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)>0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a>0，则当x时，f(x)>0；当x时，f(x)<0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上无最大值；当a>0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为f lnaln aa1.因此f >2a2等价于ln aa1<0.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0,1)4(2015·江苏高考)已知函数f(x)x3ax2b(a，bR)(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若bca(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(，3)，求c的值解：(1)f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.当a0时，因为f(x)3x20，所以函数f(x)在(，)上单调递增；当a0时，x(0，)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；当a0时，x(，0)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)b，fa3b，则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·fb0，从而或又bca，所以当a0时，a3ac0或当a0时，a3ac0.设g(a)a3ac，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(，3)，则在(，3)上g(a)0，且在上g(a)0均恒成立，从而g(3)c10，且gc10，因此c1.此时，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a因为函数有三个零点，则x2(a1)x1a0有两个异于1的不等实根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3).综上c1.5(2015·北京高考)设函数f(x)kln x，k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， 上仅有一个零点解：(1)由f(x)kln x(k>0)，得x>0且f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f().(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1， 上的唯一零点当k>e时，f(x)在区间(1， 上单调递减，且f(1)>0，f()<0，所以f(x)在区间(1， 上仅有一个零点综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， 上仅有一个零点6(2015·福建高考)已知函数f(x)ln x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x1时，f(x)x1；(3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x01，当x(1，x0)时，恒有f(x)k(x1)解：(1)f(x)x1，x(0，)由f(x)0，得解得0x.故f(x)的单调递增区间是.(2)证明：令F(x)f(x)(x1)，x(0，)，则有F(x).当x(1，)时，F(x)0，所以F(x)在1，)上单调递减，故当x1时，F(x)F(1)0，即当x1时，f(x)x1.(3)由(2)知，当k1时，不存在x01满足题意当k1时，对于x1，有f(x)x1k(x1)，则f(x)k(x1)，从而不存在x01满足题意当k1时，令G(x)f(x)k(x1)，x(0，)，则有G(x)x1k.由G(x)0，得x2(1k)x10，解得x10，x21.当x(1，x2)时，G(x)0，故G(x)在1，x2)内单调递增从而当x(1，x2)时，G(x)G(1)0，即f(x)k(x1)，综上，实数k的取值范围是(，1)