2023-2024学年河南省商丘市名校联考高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省商丘市名校联考高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.圆C：x2+y24x2y+1=0的半径为(    )A. 4B. 2C. 2D. 12.已知直线l1：x+y+1=0，l2：x+y32=0，则l1，l2之间的距离为(    )A. 2 2B. 5 24C. 24D. 23.如果直线2x4y+1=0与直线x+my1=0垂直，那么m的值为(    )A. 2B. 12C. 12D. 24.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，M是A1D1的中点，N是线段CA1上的点，且CN：NA1=1：4，用a，b，c表示向量NM的结果是(    )A. 45c45a310bB. 15a15b+45cC. 15a310b15cD. 12a+b+c5.圆x2+y2=2与圆x2+y2+2x2ya=0(aR)的位置关系是(    )A. 相交B. 相切C. 内含D. 以上均有可能6.若圆O：x2+y2=4过双曲线x2a2y2b2=1的实轴端点，且圆O与直线l：y=x+b相切，则该双曲线的离心率为(    )A. 2B. 3C. 2 2D. 27.方程kx1+ 1(x2)2=0有两相异实根，则实数k的取值范围是(    )A. (0,13B. (13,0)C. (13,0)13D. (0,13138.金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有AE=BE=CE=DE，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列结论不正确的是(    )A. AECD=0B. EA+EB+EC+ED=0C. |AE|= 62D. AEAC=12二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的有(    )A. 直线的斜率越大，倾斜角越大B. 若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则(k,b)在第二象限C. 过点(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x+y=5D. 已知直线kxyk1=0和以M(3,1)，N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为k32或k1210.已知在直角坐标系中，等边ABC的顶点A与原点重合，且AB的斜率为 32，则BC的斜率可能为(    )A. 35B. 2 35C. 2 3D. 3 311.在正三棱柱ABCA1B1C1中，点P满足BP=12BC+BB1，其中0,1，则(    )A. APBCB. P平面BCC1B1C. BP/AA1D. P棱CC112.已知直线l：xy1=0交椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)于不同两点A，B，且椭圆C经过点(0,1)，( 3,12)，则下列结论正确的是(    )A. 椭圆C离心率为 22B. 椭圆C的焦距是2 3C. AOB的面积是45(O是坐标原点)D. 椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为 10+ 22三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.向量m=(0,1,0)，n=(0,1,1)的夹角为_ 14.若方程x24t+y2t1=1表示的曲线为椭圆，则实数t的取值范围是_ 15.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA底面ABCD，且PA=2，E为PC的中点，设直线PC与平面BDE所成的角为，则sin= _ 16.定义：圆锥曲线C：x2a2+y2b2=1的两条相互垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心， a2+b2为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆C的方程为x26+y23=1，P是直线l：3x2y+9=0上的一点，过点P作椭圆C的两条切线与椭圆相切于M，N两点，连接OP(O是坐标原点)，当MPN为直角时，kOP的值是_ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)(1)已知直线l过点P(2,1)，在x轴和y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；(2)已知ABC中，A(1,0)，B(2, 3)，ABC=3，BC边中线所在直线为x轴，求AC边所在直线的方程18.(本小题12分)已知A(1,0)，B(2,0)，动点C满足|CA|CB|=12，直线l：mxy+m+1=0(1)求动点C的轨迹方程，并说明该轨迹为何种曲线；(2)若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且|PQ|=2 2，求实数m的值19.(本小题12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA面ABCD，AB/CD，且CD=2AB=2，BC=2 2,ABC=90°，M为BC的中点(1)求证：平面PDM平面PAM；(2)若二面角PDMA为30°，求直线PC与平面PDM所成角的正弦值20.(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的双曲线C过点T(2,3)，且有一条倾斜角为120°的渐近线，直线l：y=k(x2)与C相交于A，B两点(1)求C的标准方程；(2)若直线l与该双曲线的已知渐近线垂直，求AB的长度21.(本小题12分)某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现九章算术中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”(如图2)(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO/平面GCF；(2)若二面角AEFB的大小为23，求平面OAB与平面ABE夹角的余弦值22.(本小题12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点P(a,b)的直线l经过原点，交C于不同两点A，B，且|AB|=2 7，|AF1|+|BF1|=6(1)求椭圆的标准方程；(2)过点D(3,0)的直线与y轴正半轴交于点G，与曲线C交于点E，点E在x轴的投影为点F1，过点G的另一直线与曲线C交于P，Q两点，若SGQDSGPE=52，求PQ所在直线的方程答案和解析1.【答案】B 【解析】解：x2+y24x2y+1=0可化为(x2)2+(y1)2=4，所以圆半径为r=2，故选：B直接将圆的一般方程化为标准方程即可求解圆的半径本题考查的知识要点：圆的方程之间的转换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题2.【答案】B 【解析】解：根据题意，直线l1：x+y+1=0，l2：x+y32=0，则l1，l2之间的距离d=|1(32)| 1+1=5 24故选：B根据题意，由平行线线间的距离公式，计算可得答案本题考查平行线线间的距离计算，涉及直线的一般式方程，属于基础题3.【答案】C 【解析】解：由题知：2×1+(4)×m=0，解得m=12故选：C利用直线垂直的充要条件，可得答案本题考查了两条直线垂直的条件，属于基础题4.【答案】A 【解析】解：连接MN，在A1MN中，MN=MA1+A1N，M是A1D1的中点，MA1=A1D12=AD2=12b，点N是CA1上的点，且CN：NA1=1：4，A1N=45A1C=45(A1A+A1B1+A1D1)=45(AA1+AB+AD)=45(c+a+b)，MN=MA1+A1N=12b+45(c+a+b)=45a+310b45c，NM=45a310b+45c故选：A连接MN，在A1MN中，由向量加法的三角形法则知NM=MN=(MA1+A1N)，由M是A1D1的中点，用b表示出MA1，由条件：点N是CA1上的点，且CN：NA1=1：4，得到A1N=45A1C，再用a,b,c表示向量A1C即可本题考查了空间向量及其线性运算，属于基础题5.【答案】D 【解析】解：两个圆的圆心分别为O1(0,0)，O2(1,1)，且圆心O2(1,1)在圆O1上，因为圆O2的半径不确定，所以均有可能故选：D利用圆与圆的位置关系求解本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题6.【答案】B 【解析】解：圆O：x2+y2=4的圆心O(0,0)，半径为r=2，因为圆O：x2+y2=4过双曲线x2a2y2b2=1的实轴端点，所以a=2，又圆O与直线l：y=x+b相切，所以|b| 2=2，则b=2 2，故c=2 3，所以双曲线的离心率为 3故选：B根据圆的方程先求a=2，再利用相切可得b=2 2，从而可得离心率本题考查了双曲线的性质，属于中档题7.【答案】A 【解析】解：方程kx1+ 1(x2)2=0有两相异实根，等价于函数y=kx1与y= 1(x2)2的图象有两个交点，作直线y=kx1与曲线y= 1(x2)2的图象如图，直线m的斜率k=0+130=13，直线n的斜率k=0，结合图象可以知道，k的取值范围是(0,13故选：A方程kx1+ 1(x2)2=0有两相异实根，等价于函数y=kx1与y= 1(x2)2的图象有两个交点，作直线y=kx1与曲线y= 1(x2)2的图象，数形结合求解即可本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题8.【答案】D 【解析】解：如图所示，O是顶点A在下底面的射影，AM是斜高，AO是四面体的高，OB是下底面的外接圆半径，OM是下底面内切圆的半径，则BM=1，OM= 33，OB=2 33，AO= 22(2 33)2=2 63，A.AE底面BCD，CD底面BCD，AECD，AECD=0，故A正确；B.AE=BE=CE=DE，EA+EB=(EC+ED)，EA+EB+EC+ED=0，故B正确；C.AE12AB=ABAO，AE=AB22AO= 62，故C正确；D.cosAC,AE=cosAC,AO=AOAC= 63，ACAE=|AC|AE|cosAC,AE=2× 62× 63=2，故D错误故选：D记O是顶点A在下底面的射影，AM是斜高，AO是四面体的高，OB是下底面的外接圆半径，OM是下底面内切圆的半径，求出OM，OB，AO，再结合选项分别判断即可本题考查了空间向量的运算和空间向量的数量积，考查了转化思想，属基础题9.【答案】BD 【解析】解：对于A，在0°,90°)内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在(90°,180°)时，直线的斜率越大，倾斜角也越大；在0°,180°)时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大，选项A错误；对于B，若