青海省玉树市2024届高三5月第二次月考试题（数学试题理）

青海省玉树市2024届高三5月第二次月考试题（数学试题理）考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为 （ ）ABCD2设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A是偶函数B是奇函数C是奇函数D是奇函数3已知直线yk（x1）与抛物线C：y24x交于A，B两点，直线y2k（x2）与抛物线D：y28x交于M，N两点，设|AB|2|MN|，则（ ）A16B16C120D124如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）ABCD5已知集合，集合，则（ ）.ABCD6若（），则（ ）A0或2B0C1或2D17函数在的图象大致为ABCD8在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my1=0上存在点P，使得|PA|=2|PB|，则正实数m的最小值是( )AB3CD9已知函数，则，的大小关系为（ ）ABCD10如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点， 点关于直线的对称点为，角的始边为射线，终边为射线，将表示为的函数，则在上的图像大致为（ ）ABCD11 “且”是“”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件12函数的图像大致为（ ）.ABCD 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在的展开式中，的系数等于_14已知正四棱柱的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是_15已知数列中，为其前项和，则_，_.16某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_人三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设函数，其中（）当为偶函数时，求函数的极值；（）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围18（12分）已知椭圆：，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点.（）若线段的中点坐标为，求直线的方程；（）若直线过点，点满足（，分别为直线，的斜率），求的值.19（12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：甲公司员工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司员工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.（1）根据题中数据写出甲公司员工在这10天投递的快件个数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为 (单位：元)，求的分布列和数学期望；（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.20（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线与曲线交于两点.(1)求的长；(2)在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离.21（12分）设函数.（1）若函数在是单调递减的函数，求实数的取值范围；（2）若，证明：.22（10分）如图，在四棱锥中，底面，为的中点，是上的点.（1）若平面，证明：平面.（2）求二面角的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解题分析】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设=所以当时，上式取最小值 ，选A.点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。2C【解题分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论【题目详解】解：是奇函数，是偶函数，故函数是奇函数，故错误，为偶函数，故错误，是奇函数，故正确为偶函数，故错误，故选：【题目点拨】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键3D【解题分析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，然后计算，可得结果.【题目详解】设， 联立则，因为直线经过C的焦点， 所以.同理可得，所以故选：D.【题目点拨】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。4D【解题分析】因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为，所以球心到截面的距离，而截面到球体最低点距离为，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为.点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.5A【解题分析】算出集合A、B及，再求补集即可.【题目详解】由，得，所以，又，所以，故或.故选：A.【题目点拨】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.6A【解题分析】利用复数的模的运算列方程，解方程求得的值.【题目详解】由于（），所以，解得或.故选：A【题目点拨】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.7A【解题分析】因为，所以排除C、D当从负方向趋近于0时，可得.故选A8D【解题分析】设点，由，得关于的方程.由题意，该方程有解，则，求出正实数m的取值范围，即求正实数m的最小值.【题目详解】由题意，设点.，即，整理得，则，解得或.故选：.【题目点拨】本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题.9B【解题分析】可判断函数在上单调递增，且，所以.【题目详解】在上单调递增，且，所以.故选：B【题目点拨】本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.10B【解题分析】根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.【题目详解】由题意，当时，P与A重合，则与B重合，所以,故排除C,D选项；当时，由图象可知选B.故选：B【题目点拨】本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.11A【解题分析】画出“,所表示的平面区域,即可进行判断.【题目详解】如图，“且”表示的区域是如图所示的正方形，记为集合P，“”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q，显然是的真子集,所以答案是充分非必要条件，故选:.【题目点拨】本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.12A【解题分析】本题采用排除法: 由排除选项D；根据特殊值排除选项C;由,且无限接近于0时, 排除选项B；【题目详解】对于选项D:由题意可得, 令函数 ,则,;即.故选项D排除;对于选项C：因为,故选项C排除;对于选项B:当,且无限接近于0时,接近于,，此时.故选项B排除;故选项:A【题目点拨】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。137【解题分析】由题，得，令，即可得到本题答案.【题目详解】由题，得，令，得x的系数.故答案为：7【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，属基础题.14【解题分析】Aa设正四棱柱的高为h得到故得到正四棱柱的体积为故答案为54.158 （写为也得分） 【解题分析】由，得，.当时，所以，所以的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则，.161【解题分析】先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.【题目详解】由题意，高三学生占的比例为，所以应从高三年级学生中抽取的人数为.【题目点拨】本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（）极小值，极大值；（）或【解题分析】（）根据偶函数定义列方程，解得.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即得极值，（）先分离变量，转化研究函数，利用导数研究单调性与图象，最后根据图象确定满足条件的的取值范围【题目详解】（）由函数是偶函数，得，即对于任意实数都成立，所以. 此时，则.由，解得. 当x变化时，与的变化情况如下表所示： 00极小值极大值所以在，上单调递减，在上单调递增. 所以有极小值，有极大值. （）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”. 对函数求导，得. 由，解得，. 当x变化时，与的变化情况如下表所示：