2020中考压轴题

(2020·常德)如图，已知抛物线y=ax² 过点 A(1)求抛物线的解析式；(2)已知直线l过点A,M )且与抛物线交于另一点 B,与y 轴交于点C, 求证：MC²=MA-MB;(3)若点P,D 分别是抛物线与直线l 上的动点，以OC 为一 边且顶点为 O,C,P,D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P 点坐标.【解答】(1)把点A(-3, 是)代入y=ax², 得到 抛物线的解析式为 (2)设直线l 的解析式为y=kx+b , 则：解：直线l 的解析式为··1,令x=0, 得到解得1或B 1如图1中，过点A 作 AA x 轴于A , 过 B 作 BB x 轴于Bi,则BB/OC/AA,图1即MC²=MA·MB.(3)如图2中，设图2OC 为一边且顶点为 O,C,P,D 的四边形是平行四边形，(图1图2图3【解答】(1) BE 平分ABC,CE 平分ACD,(2)如图1,延长BC 到点T,图1四边形 FBCD 内接于O,FDC+FBC=180°又FDE+FDC=180°,FDE=LFBC"DF 平分ADEADF=FDE,ADF=ABF,ABF=FBCBE 是ABC 的平分线，(图1图2图3【解答】(1) BE 平分ABC,CE 平分ACD,(2)如图1,延长BC 到点T,图1四边形 FBCD 内接于O,FDC+FBC=180°又FDE+FDC=180°,FDE=LFBC"DF 平分ADEADF=FDE,ADF=ABF,ABF=FBCBE 是ABC 的平分线，(· *命=印ACD=BFD,BFD+BCD=180°,DCT+BCD=180°,DCT=BFD,ACD=DCTCE是ABC的外角平分线，BEC是ABC中BAC的遥望角.(3) 如图2,连接CF,图2BEC是ABC中BAC的遥望角，BAC=2BEC,· BFC=BACBFC=2BECBFC=BEC+FCE,BEC=FCEFCE=FAD,( ，。BEC=FAD,又FDE=FDA,FD=FD,FDEFDA(AAS)DE=DAAED=DAE,AC 是O 的直径，ADC=90°AED+DAE=90°AED=DAE=45°,如图3,过点A 作AGBE 于点 G, 过点F 作 FMCE 于点M,图3AC 是O 的直径，ABC=90°BE 平分ABC,(: ·AED=45°AED=EAC,FED=FAD,AED-FED=FAC-FAD,AEG=CAD,EGA=ADC=90°,EGAADC,在RtABG 中，在RtADE 中 ，AE=AD,在RtADC 中 ，AD²+DC²=AC²,设AD=4x,AC=5x, 则 有 ( 4x)²+5²=(5x)²,BEC=FCE,FC =FE,(·FMCE,· FDM=45°3. (2020·黔东南州)已知抛物线y=ax² +bx+c(a0) 与 x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C(0,-3),顶点D 的坐标为(1, -4)(1)求抛物线的解析式.(2)在y 轴上找一点 E, 使得EAC 为等腰三角形，请直接写出点E 的坐标.(3)点P 是 x 轴上的动点，点Q 是抛物线上的动点，是否存 在点 P、Q, 使得以点 P、Q、B、D 为顶点， BD 为一边的四 边形是平行四边形?若存在，请求出点 P 、Q坐标；若不存在，请说明理由.(【解答】(1)抛物线的顶点为(1,-4),设抛物线的解析式为y =a(x-1)²-4,将点C(0,-3) 代入抛物线y=a(x-1)²-4 中，得a-4=-3.a=1抛物线的解析式为y=a(x-1)²-4=x²-2x-3;(2)由(1)知，抛物线的解析式为y=x²-2x-3,令y=0, 则 x²-2x-3=0,x=-1 或 x=3,B(3,0),A(-1,0),令x=0, 则y=-3,C(0, -3).AC=10,设点E(0,m), 则AE=²+i,CE=|m+3|ACE 是等腰三角形，( ，。t=1+2 或 t=1-2z,Q(1+2 ,4) 或 ( 1 - 2vz,4),分别过点 D,Q 作x 轴的垂线，垂足分别为F,G,抛物线y=x²-2x-3 与x 轴的右边的交点B 的坐标为(3,0),且D(1,-4),FB=PG=3-1=2,点 P 的横坐标为(1+2 ) -2=- 1+2 或(1-2vz) -2=-1-2 2.即P(-1+2vz,0)、Q(1+2 2,4) 或 P(-1-2vz,0)、Q(1-2 2,4) (2020·铜仁市)如图，已知抛物线y=ax²+bx+6 经过两点A(-1,0),B(3,0),C 是抛物线与y 轴的交点.(1)求抛物线的解析式；(2) 点P(m,n ) 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为 S, 求 S 关于 m 的函数表达式(指( ，。出自变量 m 的取值范围)和S 的最大值；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点 M、 点 N 使得CMN=90°, 且CMN 与OBC 相似，如果存在、请求出点M 和点N 的坐标.【解答】(1)将A(-1,0) 、B(3,0) 代入y=ax²+bx+6,得： 解得： 抛物线的解析式为y=-2x²+4x+6.(2)过点P 作PF/y 轴，交BC 于点F, 如图1所示.图1当x=0 时 ，y=-2x²+4x+6=6,(点C 的坐标为(0,6)设直线BC 的解析式为y=kx+c,将B(3,0)、C(0,6) 代入y=kx+c, 得：,解得： 直线 BC 的解析式为y= -2x+6.设点P 的坐标为 (m,-2m²+4m+6), 则点 F 的坐标为 (m,-2m+6),PF=-2m²+4m+6-(-2m+6)=-2m²+6m,SrBc=-PF·OB=-3m²+9m=-3(m- 号)²+,当 时，PBC 面积取最大值，最大值为点 P(m,n) 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，0<m<3.(3)存在点M、 点 N 使得CMN=90°, 且CMN 与OBC相似.如图2,CMN=90°, 当点M 位于点C 上方，过点M 作MDy 轴于点 D,(CDM=CMN=90°,DCM=NCM,MCDNCM.若CMN 与OBC 相似，则MCD 与NCM 相似，设M(a, -2a²+4a+6),C(0,6),DC=-2d²+4a,DM=a,当时，COBCDMCMN解得， a=1,M(1,8),当 ,COBMDCNMC,(; ·解得此时 如图3,当点M 位于点C 的下方，过点M 作 MEy 轴于点E,设M(a, -2a²+4a+6),C(0,6),EC =2a²-4a,EM=a同理可得： 或、CMN与OBC 相似，解得 a=3, 或M(3,0),此时N 点坐标为 或(综合以上得，M(1,8), 或M , 或 M ), )或M(3,0), ),使得CMN=90°, 且CMN 与OBC 相似.5. (2020·湖州)已知在ABC 中，AC=BC=m,D 是AB 边上的一点，将B 沿着过点D 的直线折叠，使点B 落在AC 边的点P 处(不与点 A,C 重合),折痕交 BC 边于点 E.(1)特例感知如图1,若C=60°,D 是 AB 的中点，求证：(2)变式求异如图2,若C=90°,m=6vz,AD=7, 过点D 作 DHAC 于点H, 求 DH 和 AP 的长；(3)化归探究如图3,若m=10,AB=12, 且当AD=a 时， 存在两次不同的折叠，使点B 落在AC 边上两个不同的位置，请直接写出a 的取值范围.图1 图2 图3【解答】 (1)证明：AC=BC,C=60°,ABC 是等边三角形，(AC=AB,A=60°,由题意，得 DB=DP,DA=DB,DA=DPADP 使得等边三角形，(2)解：AC=BC=6v,C=90°,AB=Ac²+BC²= (62)²+(62)²=12,DHACDH/BCADHABCAD=7将B 沿过点D 的直线折叠，情形一：当点 B 落在线段CH 上的点P 处时，如图2- 1中，图2-1