高考数学大一轮复习 4.4 解三角形精练-人教版高三数学试题

4.4解三角形挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.正弦、余弦定理的应用1.理解正弦定理与余弦定理的推导过程2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2016天津,3利用余弦定理解三角形2015天津,13利用余弦定理解三角形三角形面积公式2014天津,122014天津文,16正弦定理、余弦定理2.解三角形的综合应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2018天津,152017天津,15利用正弦定理、余弦定理解三角形三角恒等变换分析解读1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题时,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决实际生活中的相关问题.本节内容在高考中常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题和填空题中.破考点【考点集训】考点一正弦、余弦定理的应用1.在ABC中,a=1,A=6,B=4,则c=()A.6+22B.6-22C.62D.22答案A2.在ABC中,A=3,BC=3,AB=6,则C=.  答案43.在ABC中,a=2,c=4,且3sinA=2sinB,则cosC=. 答案-14考点二解三角形的综合应用4.在ABC中,a=1,b=7,且ABC的面积为32,则c=. 答案2或235.在ABC中,a=5,c=7,cosC=15,则b=,ABC的面积为. 答案6;666.在ABC中,a=3,C=23,ABC的面积为334,则b=;c=. 答案1;13炼技法【方法集训】方法1三角形形状的判断1.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D2.在ABC中,若tanAtanB=a2b2,则ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.等腰三角形D.不能确定答案B方法2解三角形的常见题型及求解方法3.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若A=3,a=3,b=1,则c=. 答案24.(2014课标,16,5分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则ABC面积的最大值为. 答案35.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos2B+cosB=0.(1)求角B的值;(2)若b=7,a+c=5,求ABC的面积.解析(1)由已知得2cos2B-1+cosB=0,即(2cosB-1)(cosB+1)=0.解得cosB=12或cosB=-1.因为0<B<,所以cosB=12.所以B=3.(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.将B=3,b=7代入上式,整理得(a+c)2-3ac=7.因为a+c=5,所以ac=6.所以ABC的面积S=12acsinB=332.过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组考点一正弦、余弦定理的应用1.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=13,BC=3,C=120°,则AC=()A.1B.2C.3D.4答案A2.(2015天津,13,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为315,b-c=2,cosA=-14,则a的值为. 答案83.(2014天津,12,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=14a,2sinB=3sinC,则cosA的值为. 答案-144.(2014天津文,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a-c=66b,sinB=6sinC.(1)求cosA的值;(2)求cos2A-6的值.解析(1)在ABC中,由bsinB=csinC,及sinB=6sinC,可得b=6c.又由a-c=66b,有a=2c.所以,cosA=b2+c2-a22bc=6c2+c2-4c226c2=64.(2)在ABC中,由cosA=64,可得sinA=104.于是cos2A=2cos2A-1=-14,sin2A=2sinA·cosA=154.所以cos2A-6=cos2A·cos6+sin2A·sin6=15-38.评析本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.考点二解三角形的综合应用1.(2018天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析(1)在ABC中,由正弦定理可得bsinA=asinB,又由bsinA=acosB-6,得asinB=acosB-6,即sinB=cosB-6,可得tanB=3.因为B(0,),所以B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=7.由bsinA=acosB-6,可得sinA=37.因为a<c,故cosA=27.因此sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=437×12-17×32=3314.2.(2017天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=35.(1)求b和sinA的值;(2)求sin2A+4的值.解析(1)在ABC中,因为a>b,所以A>B,故由sinB=35,可得cosB=45.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=13.由正弦定理得sinA=asinBb=31313.所以,b的值为13,sinA的值为31313.(2)由(1)及a<c,得cosA=21313,所以sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=1-2sin2A=-513.故sin2A+4=sin2Acos4+cos2Asin4=7226.方法总结利用正、余弦定理求边或角的步骤:(1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出;(2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解;(3)在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形中常用结论的运用.评析本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一正弦、余弦定理的应用1.(2018课标,6,5分)在ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.25答案A2.(2016课标,8,5分)在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则cosA=()A.31010B.1010C.-1010D.-31010答案C3.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60°,则sinB=,c=. 答案217;34.(2018课标,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90°,A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解析(1)在ABD中,由正弦定理知BDsinA=ABsinADB.故5sin45°=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB<90°,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cosBDC=25+8-2×5×22×25=25.所以BC=5.方法总结正、余弦定理的应用原则:(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用.(2)运用余弦定理时,要注意整体思想的应用.(3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,避免漏解.(4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答此类问题时需要进行分类讨论,避免漏解或增解.考点二解三角形的综合应用1.(2018课标,9,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2-c24,则C=()A.2B.3C.4D.6答案C2.(2017浙江,14,6分)已知ABC中,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=. 答案152;1043.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一垂直于路面的山CD在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m. 答案10064.(2017课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为a23sinA.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周长.解析(1)由题意得SABC=12acsinB=a23sinA,即12csinB=a3sinA.由正弦定理得12sinCsinB=sinA3sinA.故sinBsinC=23.(2)由题意及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-12,即cos(B+C)=-12.又B、C为三角形内角,所以B+C=23,故A=3.由题意得12bcsinA=a23sinA,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故ABC的周长为3+33.思路分析(1)首先利用三角形的面积公式可得12acsinB=a23sinA,然后利用正弦定理,把边转化成角的形式,即可得出sinBsinC的值;(2)首先利用sinBsinC的值以及题目中给出的6cosBcosC=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,进而得出ABC的周长.方法总结(1)应用正弦定理、余弦定理将条件转化为