高考数学大一轮复习 9.7 圆锥曲线的综合问题精练-人教版高三数学试题

9.7圆锥曲线的综合问题挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.定点与定值问题1.了解圆锥曲线的简单应用2.掌握解析几何中求解定点、定值问题的方法和步骤2013天津,18定值问题直线的斜率、向量的运算2.参变量的取值范围与最值问题1.知道圆锥曲线的简单几何性质(如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等),并能用性质解决一些简单的圆锥曲线问题2.理解圆锥曲线离心率的定义,并会求圆锥曲线的离心率2017天津,192016天津,192015天津,19圆锥曲线的几何性质直线方程3.存在性问题1.理解圆锥曲线中存在性问题的基本解法2.理解转化思想在圆锥曲线中的应用2015北京,19圆锥曲线中存在性问题的推理论证直线与椭圆的位置关系分析解读1.会处理动曲线(含直线)过定点的问题.2.会证明与曲线上的动点有关的定值问题.3.会按条件建立目标函数,研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意运用“数形结合思想”以及“几何法”求某些量的最值.4.能与其他知识交汇,从假设结论成立入手,通过推理论证解答存在性问题.5.本节在高考中围绕直线与圆锥曲线的位置关系,展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查,注重对数学思想方法的考查,分值约为14分,难度偏大.炼技法【方法集训】方法1与圆锥曲线相关的最值、范围问题的解题方法1.已知椭圆W:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=23.(1)求椭圆W的标准方程及离心率;(2)如图,过点F1作直线l1与椭圆W交于点A,C,过点F2作直线l2l1,且l2与椭圆W交于点B,D,l1与l2交于点E,试求四边形ABCD面积的最大值.解析(1)由已知,得2c=2,2a=23,a2=b2+c2,解得c=1,a=3,b=2.所以椭圆W的标准方程为x23+y22=1,离心率e=ca=33.(2)连接EO.由题意知EF1EF2,O为F1F2的中点,所以|EO|=12|F1F2|=1.所以E点轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆.显然E点在椭圆W的内部.S四边形ABCD=SABC+SADC=12|AC|·|BE|+12|AC|·|DE|=12|AC|·|BD|.当直线l1,l2中一条与x轴垂直时,不妨令l2x轴,此时AC为长轴,BDx轴,把x=1代入椭圆方程,可求得y=±233,则|BD|=433,此时S四边形ABCD=12|AC|·|BD|=4.当直线l1,l2的斜率都存在时,设直线l1:x=my-1(m0),A(x1,y1),C(x2,y2).联立x=my-1,x23+y22=1,消去x,得(2m2+3)y2-4my-4=0.所以y1+y2=4m2m2+3,y1y2=-42m2+3,则|AC|=(1+m2)(y1-y2)2=43(m2+1)2m2+3.同理,|BD|=43(m2+1)2+3m2.S四边形ABCD=12|AC|·|BD|=12·43(m2+1)2m2+3·43(m2+1)2+3m2=24(m2+1)2(2m2+3)(3m2+2)=24(m4+2m2+1)6m4+13m2+6=4(6m4+12m2+6)6m4+13m2+6=41-m26m4+13m2+6<4.综上,四边形ABCD面积的最大值为4.思路分析(1)由椭圆定义及焦距|F1F2|=2c=2,求得a、b和c的值,即可求得椭圆的方程及离心率.(2)当有一条直线斜率不存在时,有S四边形ABCD=12|AC|·|BD|=4.当直线斜率存在时,设直线l1的方程,代入椭圆方程,由根与系数的关系及弦长公式求得|AC|,同理求得|BD|,表示出四边形ABCD的面积,即可求得四边形ABCD面积的取值范围,再求最大值.2.过点A(1,0)的直线l与椭圆C:x23+y2=1相交于E,F两点,自E,F分别向直线x=3作垂线,垂足分别为E1,F1.(1)当直线l的斜率为1时,求线段EF的中点坐标;(2)记AEE1,AFF1的面积分别为S1,S2.设=S1S2,求的取值范围.解析(1)依题意,得直线l的方程为y=x-1,由y=x-1,x2+3y2-3=0,得2x2-3x=0.设E(x1,y1),F(x2,y2),线段EF的中点为M(x0,y0),则x1+x2=32,则x0=34,y0=x0-1=-14.所以M34,-14.(2)当直线l与x轴重合时,AEE1和AFF1不存在.设直线l的方程为x=my+1,由x=my+1,x2+3y2-3=0,得(m2+3)y2+2my-2=0,显然mR.设E(x1,y1),F(x2,y2),则E1(3,y1),F1(3,y2).则y1+y2=-2mm2+3,y1y2=-2m2+3.因为=S1S2=12(3-x1)|y1|·12(3-x2)|y2|=14(2-my1)(2-my2)|y1y2|,所以将y1+y2,y1y2的值代入上式,得S1S2=144-2m(y1+y2)+m2y1y2|y1y2|=2m2+6+2m2-m22(m2+3)·2m2+3=3m2+6(m2+3)2=-3(m2+3)2+3m2+3.因为1m2+30,13,所以实数的取值范围是0,23.思路分析(1)依题意,得直线l的方程为y=x-1,与椭圆方程联立可得2x2-3x=0.设E(x1,y1),F(x2,y2),EF中点M(x0,y0),利用根与系数的关系,中点坐标公式即可得出.(2)设直线l的方程为x=my+1,与椭圆方程联立可得(m2+3)·y2+2my-2=0,显然mR.设E(x1,y1),F(x2,y2),则E1(3,y1),F1(3,y2).=S1S2=12(3-x1)|y1|·12(3-x2)|y2|=144-2m(y1+y2)+m2y1·y2|y1y2|.利用根与系数的关系及二次函数的单调性即可得出的取值范围.方法点拨过点A(1,0)的直线斜率可能存在也可能不存在,故设方程为x=my+1,避免了分类讨论.方法2圆锥曲线中的定值、定点问题的解题方法3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),离心率为12.(1)求椭圆C的方程;(2)A,B是椭圆C在y轴右侧部分上的两个动点,若原点O到直线AB的距离为3,证明:ABF的周长为定值.解析(1)由题意得a2=b2+1,ca=12,解得a2=4,b2=3.所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)证明:当直线AB垂直于x轴时,直线AB的方程为x=3,不妨令A3,32,B3,-32,因为F(1,0),所以|AF|=|BF|=(3-1)2+322=4-32.因为|AB|=3,所以|AF|+|BF|+|AB|=4.当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的方程为y=kx+m(k0).因为原点O到直线AB的距离为3,所以|m|1+k2=3,故m2=3(1+k2).由y=kx+m,x24+y23=1,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,即(3+4k2)x2+8kmx+12k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=12k23+4k2.所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2·-8km3+4k22-4·12k23+4k2=|m|3·64k2m2-48k2(3+4k2)(3+4k2)2=4|m|k|3·33+4k2=4|m|k|3+4k2.因为A,B在y轴右侧,所以mk<0,所以|AB|=-4mk3+4k2.|AF|2=(x1-1)2+y12=(x1-1)2+31-x124=14x12-2x1+4=12x1-22.所以|AF|=2-12x1,同理,|BF|=2-12x2.所以|AF|+|BF|=4-12(x1+x2)=4-12·-8km3+4k2=4+4km3+4k2.所以|AF|+|BF|+|AB|=4+4km3+4k2-4km3+4k2=4.综上,ABF的周长为4,是定值.4.在平面直角坐标系xOy中,动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=-1的距离相等,记点P的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点A在曲线C上,x轴上一点B(在点F右侧)满足|AF|=|FB|.平行于AB的直线与曲线C相切于点D,试判断直线AD是否过定点.若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.解析(1)因为动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=-1的距离相等,所以动点P的轨迹是以点F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线.设C的方程为y2=2px(p>0),则p2=1,即p=2.所以C的方程为y2=4x.(2)直线AD过定点.理由如下:设Am24,m,则|AF|=m24+1=|FB|,则Bm24+2,0,所以直线AB的斜率为m-2=-m2.如图,设与直线AB平行,且与抛物线C相切的直线为y=-m2x+b,由y2=4x,y=-m2x+b,得my2+8y-8b=0,由=64-4m·(-8b)=0,得b=-2m.所以解方程是y=-4m,所以点D4m2,-4m.当m244m2,即m±2时,直线AD的方程为y-m=m+4mm24-4m2x-m24,整理得y=4mm2-4(x-1),所以直线AD过点(1,0).当m24=4m2,即m=±2时,直线AD的方程为x=1,直线AD过点(1,0).综上所述,直线AD过定点(1,0).方法3存在性问题的解题策略5.(2015四川,20,13分)如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是22,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点.当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为22.(1)求椭圆E的方程;(2)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得|QA|QB|=|PA|PB|恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解析(1)由已知得,点(2,1)在椭圆E上.因此,2a2+1b2=1,a2-b2=c2,ca=22.解得a=2,b=2.所以椭圆E的方程为x24+y22=1.(2)存在.理由如下:当直线l与x轴平行时,设直线l与椭圆相交于C,D两点.如果存在定点Q满足条件,则有|QC|QD|=|PC|PD|=1,即|QC|=|QD|.所以Q点在y轴上,可设Q点的坐标为(0,y0).当直线l与x轴垂直时,设直线l与椭圆相交于M,N两点,则M,N的坐标分别为(0,2),(0,-2).由|QM|QN|=|PM|PN|,有|y0-2|y0+2|=2-12+1,解得y0=1或y0=2.所以,若存在不同于点P的定点Q满足条件,则Q点坐标只可能为(0,2).下面证明:当Q的坐标为(0,2)时,对任意直线l,均有|QA|QB|=|PA|PB|.当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立.当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).联立x24+y22=1,y=kx+1,得(2k2+1)x2+4kx-2=0.其判别式=(4k)2+8(2k2+1)>0,所以,x1+x2=-4k2k2+1,x1x2=-22