大学物理-刚体力学基础

1第第 5 5 章章 Dynamics of Rigid Body(6)刚体力学基础刚体力学基础2 本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴转动。转动。核心内容：核心内容：定轴转动的转动定理定轴转动的转动定理 刚体的转动惯量刚体的转动惯量定轴转动的角动量守恒定轴转动的角动量守恒 定轴转动的功能原理定轴转动的功能原理这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。3刚体刚体力学中物体的一种理想模型。力学中物体的一种理想模型。刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就将物体实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就将物体视为刚体。视为刚体。(a)刚体上各质点之间的距离保持不变。刚体上各质点之间的距离保持不变。(b)刚体有确定的形状和大小。刚体有确定的形状和大小。(c)刚体可看作是由许多质点刚体可看作是由许多质点(质元质元)组成的质点系。组成的质点系。无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形状都始终保持不变。状都始终保持不变。刚体的特征：刚体的特征：45-1 刚体运动学刚体运动学一一.刚体的平动和转动刚体的平动和转动 如果刚体在运动中如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空间刚体内任何两点的连线在空间的指向始终保持平行的指向始终保持平行,这样的运动就称为平动。这样的运动就称为平动。在平动时在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同刚体内各质点的运动状态完全相同,因此因此平动刚体可视为质点平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来。通常是用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。代表整个刚体的平动。比如：手捧一本书，围绕某点转一圈，书在平动比如：手捧一本书，围绕某点转一圈，书在平动还是转动？还是转动？5 刚刚体体的的一一般般运运动动比比较较复复杂杂。但但可可以以证证明明,刚刚体体一一般般运动可看作是平动和转动的结合。运动可看作是平动和转动的结合。如果刚体内的各个质点都绕同一直线如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴转轴)作圆周作圆周运动运动,这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动的这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动的,就称为定轴转动。就称为定轴转动。刚刚体体在在作作定定轴轴转转动动时时,由由于于各各质质点点到到转转轴轴的的距距离离不不同同,所所以以各各质质点点的的线线速度、加速度一般是不同的。速度、加速度一般是不同的。二二.定轴转动的描述定轴转动的描述 r图5-1 但由于各质点的相对位置保持不变但由于各质点的相对位置保持不变,所以描述各质点运动的角量所以描述各质点运动的角量,如角位移、如角位移、角速度和角加速度都是一样的。角速度和角加速度都是一样的。6 r图5-1 1 描述定轴转动刚体的运动的角量描述定轴转动刚体的运动的角量角坐标：角坐标：角位移：角位移：单位：单位：rad角速度角速度方向：方向：与转向成右手螺旋关系。与转向成右手螺旋关系。7角加速度角加速度角加速度为角速度对时间角加速度为角速度对时间 t 的一次导数，或为角坐的一次导数，或为角坐标对时间标对时间 t 的二次导数。的二次导数。单位：弧度单位：弧度/秒秒2，rad/s2,s-2方向：角速度变化的方向。方向：角速度变化的方向。8 对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？2 线量与角量之间的关系刚体转过刚体转过刚体上的一点位移刚体上的一点位移线位移和角位移的关系线位移和角位移的关系9速度与角速度之间的关系速度与角速度之间的关系加速度与角加速度之间的关系加速度与角加速度之间的关系 将质点的加速度将质点的加速度可分解为切向加速度可分解为切向加速度和法向加速度和法向加速度.将将式两边同除式两边同除10由由若角加速度若角加速度 =c(恒量恒量)，则有，则有11 一一.刚体的角动量刚体的角动量 刚体的角动量刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。刚体上各个质点的角动量之和。5-2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动图5-2Z L mi irio式中式中:J=mi ri2称为刚体对称为刚体对z轴的转动惯量。轴的转动惯量。Li=mi iri=mi ri2 刚体对刚体对z轴的角动量就是轴的角动量就是 Lz=(mi ri2)设设刚刚体体以以角角速速度度 绕绕固固定定轴轴z转转动动(见见图图5-2),质质量量为为mi的质点对的质点对o点的角动量为点的角动量为 =J 12 问题：为何动量的概念对刚体问题：为何动量的概念对刚体已失去意义？已失去意义？P=0图5-2Z L mi irio刚体对刚体对z轴的角动量：轴的角动量：Lz=J (5-1)显显然然，刚刚体体的的角角动动量量的的方方向向与与角角速速度度 的的方方向向相相同同，沿沿z轴轴方方向向(见见图图5-2),故故也也称称为为刚刚体体对对固定轴固定轴z的角动量。的角动量。13对各质点求和，并注意到对各质点求和，并注意到二二.刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理按质点角动量定理按质点角动量定理(4-11)式，有式，有 设有一质点系设有一质点系,第第i个质点的个质点的 位矢为位矢为 ri,外力为外力为 Fi,内力为内力为 ,mi：得得14=M质点系所受的合外力矩质点系所受的合外力矩=L L质点系的总角动量质点系的总角动量于是得于是得(5-2)式式(5-2)的意义是的意义是:质点系所受的合外力矩等于质点系的质点系所受的合外力矩等于质点系的总角动量对时间的变化率。这个结论叫质点系角动量总角动量对时间的变化率。这个结论叫质点系角动量定理。定理。显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。15上式称为物体定轴转动方程。上式称为物体定轴转动方程。对对定定轴轴转转动动的的刚刚体体,J为为常常量量,d /dt=,故故式式(6-16)又可写成又可写成 上上式是一矢量式式是一矢量式,它沿通过定点的固定轴它沿通过定点的固定轴z方方向上的分量式为向上的分量式为这就是刚体定轴转动定理，它是刚体定轴转动这就是刚体定轴转动定理，它是刚体定轴转动的动力学方程的动力学方程。M=J(5-4)(5-3)(5-2)(Lz=J)16(5-4)(5-4)表明表明,刚体所受的合外力矩等于刚体的转动刚体所受的合外力矩等于刚体的转动惯量与刚体角加速度的乘积。惯量与刚体角加速度的乘积。恒与恒与 方向相同方向相同.物理意义物理意义:1 受合外力矩作用受合外力矩作用,刚体转动状态将发生改变，刚体转动状态将发生改变，产生角加速度。产生角加速度。当刚体的当刚体的 一定时，一定时，172 当当 一定时，一定时，是刚体转动惯性大小的量度是刚体转动惯性大小的量度注意：注意：1 改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是力矩，而不是力！力矩，而不是力！如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速度一定大，则错。度一定大，则错。18 2 为瞬间作用规律。为瞬间作用规律。一旦一旦 ，立刻，立刻 ，匀角速度转动。，匀角速度转动。3 和和 ，均对同一转轴而言。，均对同一转轴而言。4 代表作用于刚体的合外力矩，代表作用于刚体的合外力矩，特别强调：系统所受合外力为零，特别强调：系统所受合外力为零，一对力偶产生的力矩不为零。一对力偶产生的力矩不为零。以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转动以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转动定律及用隔离体法求解定律及用隔离体法求解(刚体刚体+质点质点)系统问题系统问题的方法。的方法。19 质量质量m物体平动惯性大小的量度。物体平动惯性大小的量度。转动惯量转动惯量J物体转动惯性大小的量度。物体转动惯性大小的量度。5-3 转动惯量转动惯量 动量动量:p=m 角动量角动量:L=J 一一.转动惯量的物理意义转动惯量的物理意义20 J=mi ri2 (5-5)即即：刚刚体体的的转转动动惯惯量量等等于于刚刚体体上上各各质质点点的的质质量量乘乘以它到转轴距离的平方的总和。以它到转轴距离的平方的总和。(2)质量连续分布刚体质量连续分布刚体(5-6)式中式中:r为刚体上的质元为刚体上的质元dm到转轴的距离。到转轴的距离。(1)质量离散分布刚体质量离散分布刚体二二.转动惯量的计算转动惯量的计算21 三三.平行轴定理平行轴定理Jo=Jc+Md2 (5-7)Jc 通过刚体质心的轴的转动通过刚体质心的轴的转动 惯量惯量;M 刚体系统的总质量刚体系统的总质量;d 两平行轴两平行轴(o,c)间的距离。间的距离。JoJcdCMo图5-322o 通过通过o点且垂直于三角形平点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为面的轴的转动惯量为 JO=(1)正三角形的各顶点处有一质点正三角形的各顶点处有一质点m，用质量不计，用质量不计的细杆连接的细杆连接,如图如图5-4。系统对通过质心。系统对通过质心C且垂直于三角且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为形平面的轴的转动惯量为3+ml2=2ml2=ml2+(3m)r2=2ml2例题例题5-1 质量离散分布刚体质量离散分布刚体:J=mi ri2 ml2lllcr图5-4mmm23 (2)用质量不计的细杆连接的五个质点用质量不计的细杆连接的五个质点,如图如图5-5所示。转轴垂直于质点所在平面且通过所示。转轴垂直于质点所在平面且通过o点点,转动转动惯量为惯量为 JO=m.02=30ml2+2m(2l2)+3m(2l)2+4ml2+5m(2l2)om2m3m4m5mllll图5-524记住！(1)质量为质量为m、长度为、长度为l的细直棒，可绕通过质心的细直棒，可绕通过质心C且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。例题例题5-2 质量连续分布刚体质量连续分布刚体:若棒绕一端若棒绕一端o转动，由平行轴转动，由平行轴定理，定理，则转动惯量为则转动惯量为 图5-6Cdxdmxxo 解解 方法：将细棒分为若干微元方法：将细棒分为若干微元dm=(m/l)dx,然后然后积分得积分得o25R (3)均质圆盘均质圆盘(m,R)绕中心轴转绕中心轴转动时，可将圆盘划分为若干个半动时，可将圆盘划分为若干个半径径r、宽、宽dr的圆环积分的圆环积分：(2)均质细圆环均质细圆环(m,R)绕中心轴转动时，其转动绕中心轴转动时，其转动惯量为惯量为 dm图5-7rdr26 解解 由由 M=J ,=o+t 有外力矩时有外力矩时,例题例题5-3 以以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到内该轮的转速均匀地由零增大到100rev/min。此时撤去该力矩。此时撤去该力矩,转轮经转轮经100s而停止。试而停止。试推算此转轮对该轴的转动惯量。推算此转轮对该轴的转动惯量。撤去外力矩时撤去外力矩时,-Mr=J 2,2=-/t2 (2)代入代入t1=10s,t2=100s,=(1002)/60=10.5rad/s,解式解式(1)、(2)得得 J=17.3kg.m2 。20=J 1，1=/t1 (因因 o=0)20-Mr=J 1，1=/t1 (因因 o=0)(1)27 解解 对柱体对柱体,由转动定律由转动定律M=J 有有 mg.R=J 这式子对吗？这式子对吗？错！此时绳中张力错！此时绳中张力T mg。正确的解法是用隔离体法。正确的解法是用隔离体法。例题例题5-4 质量为质量为M、半径为、半径为R的匀质柱体可绕通过的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量