2023年考研数学(三)真题(含答案及解析)【可编辑】

2023 ( )一、选择题(110小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.)·2 ·(1)已知函数 f(x,y)=ln(y+lxsiny|), 则(C)不存在存在.均存在.(B) 存在， 不存在.(D)均不存在.(2)函数的一个原函数为(3)若微分方程 y”+ay'+by=0 的解在(- ,+)上有界，则(A)a<0,b>0.(B)a>0,b>0.(C)a=0,b>0.(D)a=0,b<0.(4)已知a<b(n=1,2,). 若级数 与 均收效，则“绝对收效“是 绝对收敛”的(A) 充分必要条件. (B) 充分不必要条件.(C) 必要不充分条件. (D) 既不充分也不必要条件.(5)设A,B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M* 为矩阵M 的伴随矩阵，则(A) (B) (C) (D) (6)二次型 f(x,x,x)=(x+x)²+(x+x)²-4(x-x)² 的规范形为(A)y+y2. (B)y-y2.(C)y+y2-4y³ . (D)y²+y2-y.···.(7)已知向量9.若既可由a,a 线性表示，也可由,·3 ·线性表示，则=we o uee (8)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则E(|X-EX|)=(A) (B) (c) (D)1.(9)设X,X,X。 为来自总体N(,o²) 的简单随机样本，Y,Y,Y 为来自总体N(2,事2o²) 的简单随机样本，且两样本相互独立.记i9(A)(C)(B)(D)(10)设X,X 为来自总体N(,d²) 的简单随机样本，其中(o>0) 是未知参数.记=a|X 一X|, 若 E(G)=, 则a=(a) (B) (C). (D)2.二、填空题(1116小题，每小题5分，共30分.)(12)已知函数f(x,y)满足(,(13) 则 f( 3,3)= (14)设某公司在t 时刻的资产为f(t), 从0时刻到t 时刻的平均资产等于假设f(1) 连续且 f(0)=0, 则 f(t)= 则(15)已知线性方程组- 有解，其中a,b 为常数.若(16)设随机变量X 与Y 相互独立，且XB(1,p),YB(2,p),p(0,1), 则X+Y 与X-Y 的相关系数为 三、解答题(1722小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(17)(本题满分10分)·4 ·已知可导函数y=y(x) 满足ae¹+y²+y-In(1+x)cos(I) 求 a,b 的值；()判断x=0 是否为 y(x) 的极值点.(18)(本题满分12分)y+b=0,且y(0)=0,y(0)=0.(I) 求 D 的面积；()求 D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积.(19)(本题满分12分)已知平面区域 D=(x,y)|(x-1)²+y²1,计算二重积(20)(本题满分12分)设函数f(x) 在 -a,a 上具有2阶连续导数，证明：(I) 若 f(0)=0, 则存在(-a,a), 使得 ()若f(x) 在( -a,a)内取得极值，则存在(-a,a),使得 |(21)(本题满分12分)设矩阵 A 满足：对任意x ,xz,x 均有(I) 求 A;()求可逆矩阵P 与对角矩阵A, 使得 P-¹AP=A.(22)(本题满分12分)设随机变量 X 的概率密度为 (I) 求 X 的分布函数；()求Y的概率密度；()Y 的期望是否存在?2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)一、选择题：110小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置.(1)已知函数f(x,y)=In(y+|xsinyí, 则( )(A) 不存在，存在(B) 存在(C) 均存在(D) 均不存在【答案】(A)【解析】f(0,I)=0, 由偏导数的定义因 ,所以不存在，存在.(2)函数 的原函数为( )2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)【答案】(D)【解析】当x0时，当x>0 时，=(x+1)sinx+cosx+C原函数在(-o,+o)内连续，则在x=0 处所以C=1+C, 令C=C, 则C=1+C, 故结合选项，令C=0, 则f(x)的一个原函数为(3)已知微分方程式y"+ay'+by=0的解在(-0,o)上有界，则( )(A)a<0,b>0(B)a>0,b>0(C)a=0,b>0(D)a=0,b<0【答案】(C)至少有一个【解析】微分方程y'+ay'+by=0的特征方程为²+a+b=0,当A=a²-4b>0 时，特征方程有两个不同的实根a,3, 则a,不等于零，; ;2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)若C,C都不为零，则微分方程的解y=Ce+Ce* 在(-o,+x) 无界；当A=a²-4b=0 时，特征方程有两个相同的实根，若c 0,则微分方程的解y=Cg²+Cxe²在(一a,+x)无界；当A=a²-4b<0 时，特征方程的根为.此时，要使微分方程的解在(-0,+x) 有界，则a=0, 再由=a²-4b<0, 知b>0.(4)已知a<b,(n=1,2,), 若级数 与 均收敛，则“级数 绝对收敛”是“级数绝对收敛”的( )(A) 充分必要条件(B) 充分不必要条件(C) 必要不充分条件(D) 既不充分也不必要条件【答案】(A)【解析】由条件知 )为收敛的正项级数，进而绝对收敛；绝对收敛，则由|b|=1b.-a+a,|h,-a,+|a, 绝对收敛；设绝对收敛，则由|a,l=|a,-b+b|b-a,|+|b,|绝对收敛.与比较判别法，得与比较判别法，得 (5)设A,B为 n 阶可逆矩阵， E 为 n 阶单位矩阵， M* 为矩阵 M 的伴随3日,2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)矩阵，则(A)(C)【答案】(B)(B)D)【解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入(B)计算知(6)二次型f(x,X,x)=(x+x)²+(x+x)²-4(x-x,)²的规范形为( )(A)y²+y2 (B)y²-y2(C)y²+y2-4y? (D)y²+y2-y³【答案】(B)【解析】由已知f(x,x,x)=2x²-3x²-3x²+2x,x+2xx+8xx,则其对应的矩阵4330故选(B)(7) 已知向!,表示，也可由与,线性表示，则=( ,若既可由,a 线性 ) 2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)(C)【答案】(D)【解析】设r=x+xQ=y;+y则x+x-y;-y=0故(x,x,yy)Y=c(-3,1,-1,1Y,cR所以r=-c+c=c(-1,-5,-8)'=-c(1,5,8)=k(1,5,8),kR(8)设随机变量x 服从参数为1的泊松分布，则E(X-EX|)=() )(N) (B) (C) (D)1【答案】(C)【解析】法1:由题可知-1,所以1.x×2 ,选 (C)法2:随机变量x 服从参数为1泊松分布，即期望E(X)=1.52023年全国硕士研究生招生考试数学(三)=e¹+(e-1)e¹-(e-1-1)e¹=2e¹ 选 (C).(9) 设X,X,X,为来自总体N(,²)的简单随机样本，Y,Y,Ym为来自 总体N(,2o²)的简单随机样本，且两样本相互独立，记, , , 则 ( )(A)(C)(B)(D)【答案】(D)【解析】xj,X,x,的样本方差，x,YY,的样本方差则 ) ,两个样本相互独立所 以(10) 设x,x为来自总体N(,²)的简单随机样本，其中(>0)是未知参数，记=akx-x, 若E(o)=, 则a=( )(A)(B)6;2023年全国硕士研究生招生考试数学(三)(C) (D)2【答案】(A)