2021年考研数学(一)真题(含答案及解析)【可编辑】

2021年全国硕士研究生招生考试数 学 ( 一)(科目代码：301)一、选择题(110小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)(1)函数 在 x=0 处( ).(A) 连续且取得极大值 (B) 连续且取得极小值(C) 可导且导数等于零 (D) 可导且导数不为零(2)设函数f(x,y) 可微，且f(x+1,e)=x(x+1)²,f(x,x²)=2x²lnx, 则df(1,1)=( ).(A)dx+dy (B)dx-dy (C)dy (D)-dy(3)设两数 在 x=0 处的3次泰勒多项式为ax+bx²+cx³, 则( ).(C)a=-1.b=-1(D)a=-1,b=-1.(4)设函数f(x) 在区间0,1上连续，则(A) (C) (5)设二次型f(x,x,xg)=(x+xz)²+(x+xg)²-(x-x)² 的正惯性指数与负惯性指数依次为( ).(A)2,0 (B)1.1 (C)2,1 (D)1,2(6)已知,m-4.A-a- 1B- 1B.活B. ,两两相交，则l,l 依次为( ).(A)(D),7)设A,B 为n 阶实矩阵，下列结论不成立的是( ).(C)r (D a)8)设A,B 为随机事件，且0<P(B)<1, 下列命题中为假命题的是( ),(A) 若P(A|B)=P(A), 则P(A|B)=P(A)(B) 若P(A|B)>P(A), 则P(A|B)>P(A)(C) 若 P(A|B)>P(A|B), 则 P(A|B)>P(A)(D) 若 P(A|AUB)>P(A|AUB), 则 P(A)>P(B)9)设(X,Y),(X,Y),(X,Y) 为来自总体N(1·2;,2;p)的简单随机样本，令0= -p,=X-Y, 则() .(A)ò是0的无偏估计，(B) 不是0的无偏估计，(C 是0的无偏估计，(D)6不是0 的无偏估计，10)设X,X,X 是来自总体N(,4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：H: 10,H:>10,(x) 表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W=X11, 其,则=11.5时，该检验犯第二类错误的概率为( ).(A)1(0.5) (B)1( 1)(C)1(1.5) (D)1(2)二、填空题(1116小题，每小题5分，共30分.请将答案写在题中的横线上.)l2) 设函数y=y(x) 由参数方程 所确定，贝 3)欧拉方程x²y”+xy'-4y=0 满足条件y(1)=1,y'(1)=2 的解为 y= 4)设为空间区域(x,y,z)| x²+4y²4,02 表面的外侧，则曲面积分5)设A=(ay) 为3阶矩阵，A, 为代数余子式，若A 的每行元素之和均为2,且|A|=3, 则A+An+A= l6) 甲、乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙 盒中，再从乙盒中任取一球，令X,Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X 与Y的相关系数为 三、解答题(1722 小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (17)(本题满分10分)求极|(18)(本题满分12分)设 ,求级数的收敛域及和函数.(19)(本题满分12分)已知曲线求C 上的点到xOy 坐标面距离的最大值.(20)(本题满分12分)设DCR² 是有界单连通闭区域，取得最大值的积分区域为D .(I) 求 I(D) 的值；()计算 ,其中3D 是 D 的正向边界.(21)(本题满分12分)已知 (I) 求正交矩阵P, 使 得PTAP 为对角矩阵；()求正定矩阵C, 使 得C² =(a+3)E-A.(22)(本题满分12分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度为 X, 较长一段的长度为 Y, 令 ·(I) 求 X 的概率密度；()求 Z 的概率密度；()求2021 年数学(一)真题解析一、选择题(1)【答案】 (D).【解】 : 得 f(x) 在 x=0 处连续；再1得 0.应选(D),(2)【答案】 (C).【解】 f(x+1,e² )=x(x+1)² 两边对x 求导得fí(x+1,e)+e²f(x+1,e)=(x+1)²+2x(x+1),取 x=0 得f(1,1)+f(1,1)=1;f(x,x²)=2x²1nx 两边对x 求导得f'(x,x²)+2xf²(x,x²)=4xlnx+2x取x=1 得 f(1,1)+2fz(1,1)=2,解得f'(1,1)=0,f(1,1)=1, 故 df(1,1)=dy, 应选(C).(3)【答案】 (A).【解】 因为 为奇函数，所以b=0;由 , 得应选(A).(4)【答案】 (B).,应选(B).(5)【答案】 (B).【解】 令,则f=X¹AX,由=(+1)(²-3)=0得=-1,=0,=3,应选 (B).,【解】(6)【答案】 (A).,应选(A).【解】 由施密特正交化得;方法点评：将线性无关的向量组化为两两正交的规范向量组即施密特正交规范化，实对 称矩阵的对角化的正交变换法需要将线性无关的特征向量进行正交化和单位化.设,a 。线性无关，=,=- l,=-k-k, 且 , 线性无关，则 (7)【答案】 (C).【解】 ,由 得 r由 得 ),应选(C),(8)【答案】 (D).【 解 】 由 P(A|B)=P(A) 得 P(AB)=P(A)P(B), 即 事 件A,B 独 立 ，于是 由 P(A|B)>P(A) 得 P(AB)>P(A)P(B)从而 由 P(A|B)>P(A|B) 得 ,整理得 P(AB)>P(A)P(B),(9)【答案】 (C).,则E()=E(X)-E(Y)=-2=0;D()=D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y),应选(C).,(10)【答案】 (B).),%】 由题犯第二类错误的概率为应选(B).二、填空题(11)【答案】【解】(12)【答案】【解】, ,则 (13)【答案】 x².,则【解】 令 x=e,xy¹=Dy,x²y"=D(D-1)y,代入欧拉方程得特征方程为²-4=0,特征根为 =-2,=2,的通解为y=C;c”+C;e², 原方程的通解为由 y(1)=1,y'(1)=2 得 C+C=1,-2C+2C=2, 解得C=0,C=1,故 y=x²,方法点评：形如x”y(”)+aa-ix"-'y*-D+axy¹+aoy=f(x)的方程称为欧拉方程.令x=e', 则.x”y”=D(D-1)(D-n+1)y,代入原方程得高阶常系数线性微分方程，求出其通解，再将t=lnx 代入即可得原方程的通解.;,得;得,(14)【答案】 4.【解】 设三所围成的几何体为,由高斯公式得由积分的奇偶性得(15) 【答案】(16) 【 答 案】【解】 (X,Y) 的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),三、解答题(17) 【解】 方 法 一方法二方法三由泰勒公式得e =1+t²+o(t²),从当 x=±1.或 ，即x>0 时， 收敛；再由的收敛半径为R=1,得时 ，,