2023年考研数学(一)真题(含答案及解析)【可编辑】

12023 年全国硕士研究生招生考试(数学一)试题考试形式： 闭卷 考试时间： 180 分钟 满分： 150 分注意：1.所有答题都须写在试卷密封线右边，写在其他纸上一律无效.2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.3.如答题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.一、选择题：1- 10 题 . ( 每 题 1 0 分 ， 共 5 0 分)1.曲线! 的斜渐近线方程为( )A.y=x+e C.y =x2.若微分方程y”+ ay/+by= 0 的解在(-,+o) 上有界，则( )A.a<0,b>0 B.a>0,b>0 C.a=0,b>0 D.a=0,b<03.设函数y=f(x) 由 确定，则( )A.f(x) 连续，f'(0) 不存在.B.f'(0) 存在，f'(x) 在 x=0 处不连续.C.f'(x) 连续，f”(0)不存在D.f”(0) 存在，f(x) 在 x=0 处不连续.4.已知an<bn(n=1,2,),均收敛，则绝对收敛”是绝对收敛”与若级数的( )A.充分必要条件.B. 充分不必要条件.C. 必要不充分条件.D. 既不充分也不必要条件.5. 已知 n 阶矩阵 A,B,C 满足 ABC=O,E 为 n 阶单位矩阵.记矩阵;的秩分别为ri,rz,r, 则( )A.rrry B.rrr C.rrzrj D.rrr6. 下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是( )2A. B. C. D. 7.已知向量 ,若既可由,线性表示，也可由 示，A.k ,k R B.k ,kR C.k ,kR D.k ,kR.8.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则 E(|X-EXI)=( )A. B C. · D.1.9.X,X,X 为来自总体的N(,o²) 的简单随机样本，Yi,Y2,Yn,为来自总体的N(2,2o²) 的简 单随机样本，且两样本相互独立，记则( )C.D.10.设 X,X 为来自总体(,o²) 的简单随机样本，其中(o>0) 是末知参数，若6=a|X-X | 为的无偏估计，则a=( )A. B C. D.2二 、填空题：11- 16题 . (每题5分，共30分)11.当x0 时，函数 f(x)=ax+br²+ln(1+x)与g(x)=e²²-cosx是等价无穷小，则ab= 12.曲面x=x+2y+ln(1+x²+y²) 在点(0,0,0)处的切平面方程为 13. 设 f(x)是周期为2 的周期函数，且 f(x)=1-x,x 0,1. 若15.已知向量;Ta=Ta(i=1,2,3),14.设连续函数 f(x) 满足：则? ;则16.设随机变量X 与 Y 相互独立，且,则 PX=Y. 3若三 、解答题：17-22 小 题 ， 共 7 0 分 .17. (本小题满分10分)设曲线y=y(x)(x>0) 经过点(1,2),该曲线上任一点 P(a,y) 到 y 轴的距离等于该点处的切线在 y 轴上的截距.(1)求 y(x);2)求函数.)上的最大值。18. (本小题满分12分)求函数 f(x,y)=(y-x²)(y-x³)的极值.19. (本小题满分12分)设空间有界区域由柱面x²+y²=1 与平面 x=0 和 x+z=1 围成.2为的边界曲面的外侧.计算曲面积分20. (本小题满分12 分)设函数 f(x) 在 -a,a 上具有2阶连续导数.证明：(1)若f(0)=0, 则存在(-a,a),使得(2)若 f(x) 在 ( -a,a) 内取得极值，则存在(-a,a),使得21. (本小题满分12 分)已知二次型f(xx,x)=x+2x2+2x+2rxz-2x73,g(y,y,y)=yì+y2+y3+2y3/3.(1)求可逆变换x =Py 将 f(x,x,x) 化成g(y,yz,y);(2)是否存在正交变换x=Qy 将 f(x1,x,x) 化成g(yi,yz,y)?422.( 本小题满分12分)设二维随机变量 (X,Y) 的概率密度为 ,求(1)求X 与 Y 的协方差；(2)X 与 Y 是否相互独立?(3) 求 Z=X²+Y² 的概率密度.2023年全国硕土研究生招生考试数学(一)一、选择题：110小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置.(1)曲线. 的渐近线方程为( )(A)y=x+e(C)y=x【答案】(B)所以斜渐近线方程；(2) 若微分方程y"+ay'+by=0的解在(-o,+x)上有界，则( )(A)a<0,b>0 (B)a>0,b>0(C)a=0,b>0 (D)a=0,b<0【答案】(C)【解析】微分方程y'+ay'+by=0的特征方程为x²+ax+b=0,当A=a²-4b>0 时，特征方程有两个不同的实根3,3,则z,3 至少有一个不等于零，若c,C, 都不为零，则微分方程的解y=Ce*+C;e* 在(-o,+a)1 2023年全国硕士研究生招生考试数学(一)无界；当A=a²-4b=0 时，特征方程有两个相同的实根，若c;0, 则微分方程的解y=Ce÷+Cxe²在(-o,+2)无界；当A=a²-4b <0 时，特征方程的根为.此时，要使微分方程的解在(-o,+o)有界，则a=0, 再由A=a²-4b<0,知 b>0(3) 设函数y=f(x)由确定，则( )(A) f(x)连续，f(O)不存在 (B) f(0) 存在， f(x) 在x=0 处不连续(C)f(x) 连续， f(0) 不存在 (D)f”(0) 存在，f”(x) 在x=0 处不连续【答案】(C),得y=-xsinx;,得. ;1<0时，【解析】t0时，综上，, 得y(0)=0;于是得y'连续；2023年全国硕士研究生招生考试数学(一)得y”(0)不存在.(4)已知a,<b,(n=1,2,),若级数,均收敛，则“绝对收敛”是 ,绝对收敛的”( )(A) 充分必要条件(B) 充分不必要条件(C) 必要不充分条件(D) 既不充分也不必要条件【答案】(A)【解析】由条件知 )为收敛的正项级数，进而绝对收敛；绝对收敛，则由|b,|=|b,-a,+a,|b,-a,|+la,| 与比较判别法，绝对收敛；,绝对收敛，则由|a|=|a,-b+b|b,-al|+1b .|与比较判别法， 绝对收敛.(5)已知n阶矩阵A,B,C满足ABC=0,E 为n阶单位矩阵，记矩阵 的秩分别为yYz,Y,则( )(A)xyr(C)Ysry【答案】(B)【解析】因初等变换不改变矩阵的秩，(B)xyY(D)Yxy2023年全国硕士研究生招生考试数学(一)故选(B).(6)下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是( )(A)(C)(B)(D)【答案】(D)【解析】选项(A)矩阵的特征值为三个不同特征值，所以必可相似对角化；选项(B)矩阵为实对称矩阵，所以必可相似对角化；选项(C)矩阵特征值为1,2,2,二重特征值的重数2=3-r(C-2E), 所以必可相似对角化；选项(D)矩阵特征值为1,2,2,二重特征值的重数23-r(D-2E), 所以不可相似对角化.故选(D).(7)已知向!;,表示，也可由,线性表示，则y=(,), 若Y既可由,a 线性2023年全国硕士研究生招生考试数学(一)(A) (C)【答案】(D)【解析】设r=x;+x=y;+yB,则x+x-y-y=0.故(xxyy)'=c(-3,1,-1,1Y,ceR.所以r=-c+c=c(-1,-5,-8)=-c(1,5,8)=k(1,5,8),keR.(8) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则E(X-EX)=( )(w 8) (c) (D)1【答案】(C)【解析】由题可知云(X)-1,所以,故选(C).(9) 设X,X,X,为来自总体N(,²)的简单随机样本， Y,X,Y为来自202