182 勾股定理的逆定理 达标训练(含答案)

- 1 -18.218.2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 达标训练达标训练一、基础一、基础·巩固巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为 123 B.三边长的平方之比为 123C.三边长之比为 345 D.三内角之比为 3452.如图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，ADBC，斜腰 DC 的长为 10 cm，D=120°，则该零件另一腰 AB 的长是_ cm（结果不取近似值）.图 1824 图 1825 图 18263.如图 1825，以 RtABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则 AB 的长为_.4.如图 1826，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 AB 中点，F 为 AD 上的一点，且AF=AD，试判断EFC 的形状.415.一个零件的形状如图 1827，按规定这个零件中A 与BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图 1827- 2 -6.已知ABC 的三边分别为 k21，2k，k2+1（k1） ，求证：ABC 是直角三角形.二、综合二、综合·应用应用7.已知 a、b、c 是 RtABC 的三边长，A1B1C1的三边长分别是 2a、2b、2c，那么A1B1C1是直角三角形吗？为什么？8.已知：如图 1828，在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD2=AD·BD.求证：ABC 是直角三角形. 图 18289.如图 1829 所示，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为 A（3，1） ，B（2，4） ，OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图 1829- 3 -10.阅读下列解题过程：已知 a、b、c 为ABC 的三边，且满足 a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC 的形状.解：a2c2b2c2=a4b4，(A)c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2)，(B)c2=a2+b2， （C)ABC 是直角三角形.问：上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_；错误的原因是_；本题的正确结论是_.11.已知：在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC 的形状.12.已知：如图 18210，四边形 ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形 ABCD 的面积.图 18210- 4 -参考答案参考答案一、基础一、基础·巩固巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为 123 B.三边长的平方之比为 123C.三边长之比为 345 D.三内角之比为 345思路分析：思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余；两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半.由 A 得有一个角是直角；B、C 满足勾股定理的逆定理，所以 应选 D.答案：答案：D2.如图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，ADBC，斜腰 DC 的长为 10 cm，D=120°，则该零件另一腰 AB 的长是_ cm（结果不取近似值）.图 1824解：过 D 点作 DEAB 交 BC 于 E,则DEC 是直角三角形.四边形 ABED 是矩形，AB=DE.D=120°，CDE=30°.又在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE= cm.3551022AB= cm.35510223.如图 1825，以 RtABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则 AB 的长为_.图 1825 图 1826思路分析：思路分析：因为ABC 是 Rt，所以 BC2+AC2=AB2,即 S1+S2=S3，所以 S3=12，因为- 5 -S3=AB2,所以 AB=.32123S答案：答案：324.如图 1826，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 AB 中点，F 为 AD 上的一点，且AF=AD，试判断EFC 的形状.41思路分析：思路分析：分别计算 EF、CE、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：E 为 AB 中点，BE=2.CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.CE2+EF2=CF2,EFC 是以CEF 为直角的直角三角形.5.一个零件的形状如图 1827，按规定这个零件中A 与BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图 1827思路分析：思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断 ADB 和DBC 是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在ABD 中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以ABD 为直角三角形，A =90°.在BDC 中,BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.所以BDC 是直角三角形，CDB =90°.因此这个零件符合要求.6.已知ABC 的三边分别为 k21，2k，k2+1（k1） ，求证：ABC 是直角三角形.思路分析：思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.证明：k2+1>k21,k2+12k=(k1)2>0,即 k2+1>2k，k2+1 是最长边.(k21)2+(2k )2=k42k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,ABC 是直角三角形.二、综合二、综合·应用应用- 6 -7.已知 a、b、c 是 RtABC 的三边长，A1B1C1的三边长分别是 2a、2b、2c，那么A1B1C1是直角三角形吗？为什么？思路分析：思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例 2 已证）.解：略8.已知：如图 1828，在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD2=AD·BD.求证：ABC 是直角三角形. 图 1828思路分析：思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.证明：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2.ABC 是直角三角形.9.如图 1829 所示，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为 A（3，1） ，B（2，4） ，OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图 1829思路分析：思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算 OA、AB、OB 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断OAB 是否是直角三角形即可.解： OA2=OA12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,OA2+AB2=OB2.OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形 .- 7 -10.阅读下列解题过程：已知 a、b、c 为ABC 的三边，且满足 a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC 的形状.解：a2c2b2c2=a4b4，(A)c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2)，(B)c2=a2+b2， （C)ABC 是直角三角形.问：上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_；错误的原因是_；本题的正确结论是_.思路分析：思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了 a 有可能等于 b 这一条件，从而得出的结论不全面.答案：答案：(B) 没有考虑 a=b 这种可能，当 a=b 时ABC 是等腰三角形；ABC是等腰三角形或直角三角形.11.已知：在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC 的形状.思路分析：思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为 0，则都为 0；(3)已知 a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解：由已知可得 a210a+25+b224b+144+c226c+169=0,配方并化简得,(a5)2+(b12)2+(c13)2=0.(a5)20,(b12)20,(c13)20.a5=0,b12=0,c13=0.解得 a=5,b=12,c=13.又a2+b2=169=c2,ABC 是直角三角形.12.已知：如图 18210，四边形 ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形 ABCD 的面积.图 18210思路分析：思路分析：（1）作 DEAB，连结 BD，则可以证明ABDEDB（ASA） ；(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB =3；(3)在DEC 中，3、4、5 为勾股数，DEC 为直角三角形，DEBC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.- 8 -解：作 DEAB，连结 BD，则可以证明ABDEDB（ASA）,DE=AB=4，BE=AD=3.BC=6,EC=EB=3.DE2+CE2=32+42=25=CD2,DEC 为直角三角形.又EC=EB=3,DBC 为等腰三角形，DB=DC=5. 在BDA 中 AD2+AB2=32+42=25=BD2,BDA 是直角三角形.它们的面积分别为 SBDA=×3×4=6;SDBC=×6×4=12.21 21S四边形 ABCD=SBDA+SDBC=6+12=18.