不等式【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 不等式不等式 一不等式的性质一不等式的性质： 1同向不等式可以相加；异向不等式可以相减同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则,ab cd（若，则） ，但异向不等式不可以相加；同向不等式acbd,ab cdacbd 不可以相减； 2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则） ；0,0abcdacbd0,0abcdab cd3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；0abnnabnnab4若，则；若，则。如如0ab ab11 ab0ab ab11 ab（1 1）对于实数中，给出下列命题：cba,； ； 22,bcacba则若babcac则若,22； ；22, 0bababa则若baba11, 0则若； ；ba abba则若, 0baba则若, 0； ，则。bcb acabac则若, 011,abab若0,0ab其中正确的命题是_ （答：） ； （2 2）已知，则的取值范围是_11xy 13xy3xy（答：） ；137xy（3 3）已知，且则的取值范围是_cba, 0cbaac（答：）12,2 二不等式大小比较的常用方法二不等式大小比较的常用方法： 1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2作商（常用于分数指数幂的代数式） ； 3分析法； 4平方法； 5分子（或分母）有理化； 6利用函数的单调性； 7寻找中间量或放缩法 ； 8图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如如（1 1）设，比较的大小0, 10taa且21loglog21ttaa和（答：当时，（时取等号） ；当时，1a 11loglog22aatt1t 01a（时取等号） ） ；11loglog22aatt1t （2 2）设，试比较的大小2a 1 2paa2422aaqqp,（答：） ；pq （3 3）比较 1+与的大小3logx) 10(2log2xxx且（答：当或时，1+；当时，1+01x4 3x 3logx2log 2x413x3logx；当时，1+）2log 2x4 3x 3logx2log 2x三利用重要不等式求函数最值三利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，一正二定三相等，和定积最大， 积定和最小积定和最小”这 17 字方针。如如 （1 1）下列命题中正确的是A、的最小值是 21yxxB、的最小值是 22232xy x C、的最大值是423(0)yxxx24 3D、的最小值是423(0)yxxx24 3（答：C） ； （2 2）若，则的最小值是_21xy24xy（答：） ；2 2（3 3）正数满足，则的最小值为_, x y21xyyx11（答：） ；32 24.4.常用不等式常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算222 2211abababab 结构选用) ；（2）a、b、c R，（当且仅当时，取等222abcabbccaabc号） ；（3）若，则（糖水的浓度问题） 。如如0,0abmbbm aam 如果正数、满足，则的取值范围是_ab3baabab （答：）9,五证明不等式的方法五证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差 （商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小，然后作出 结论。).常用的放缩技巧有：21111111 1(1)(1)1nnn nnn nnn 11111121kkkkkkkkk 如（如（1 1）已知，求证： ；cba222222cabcabaccbba(2)(2) 已知，求证：；Rcba,)(222222cbaabcaccbba（3 3）已知，且，求证：；, , ,a b x yR11,xyabxy xayb (4)(4)若 a、b、c 是不全相等的正数，求证：；lglglglglglg222abbccaabc（5 5）已知，求证：；Rcba,2222a bb c22()c aabc abc(6)(6)若，求证：；*nN2(1)1(1)nn 21nn (7)(7)已知，求证：；| |ab| |abab abab（8 8）求证：。2221111223nL六简单的一元高次不等式的解法六简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式 的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在 数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回奇穿过偶弹回；（3） 根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。如如( )f x（1 1）解不等式。2(1)(2)0xx（答：或） ； |1x x 2x （2 2）不等式的解集是_2(2)230xxx（答：或） ； |3x x 1x （3 3）设函数、的定义域都是 R，且的解集为，( )f x( )g x( )0f x |12xx 的解集为，则不等式的解集为_( )0g x ( )( )0f x g x g（答：） ；(,1)2,)U（4 4）要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满x0922axxx 足不等式中的一个，则实数的取值范围是_.08603422xxxx和a（答：）817,)8 七分式不等式的解法七分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将 分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。 解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如如（1 1）解不等式25123x xx （答：） ；( 1,1)(2,3)U（2 2）关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解x0bax), 1 ( x02 xbax集为_ （答：）.), 2() 1,(U 八绝对值不等式的解法八绝对值不等式的解法：1分段讨论法（最后结果应取各段的并集最后结果应取各段的并集）：如如解不等式|21|2|432| xx（答：） ；xR （2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如如解不等式|1| 3xx（答：）(, 1)(2,) U （4）两边平方：如如 若不等式对恒成立，则实数的取值范围为_。|32| |2|xxaxRa（答：）4 3 九含参不等式的解法九含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论 是关键 ”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是” 。注意注意：按参数讨论， 最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如如（1 1）若，则的取值范围是_2log13aa（答：或） ；1a 203a（2 2）解不等式2 ()1axx aRax（答：时，；时，或；时，0a |x0x 0a 1 |x xa0x 0a 或）1 |0xxa0x 提醒：（提醒：（1 1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2 2）不等 式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如如关于的x不等式 的解集为，则不等式的解集为_（答：0bax) 1 ,(02 baxx（1,2） ） 十一含绝对值不等式的性质十一含绝对值不等式的性质： 同号或有同号或有；ab、0| |abab| |abab 异号或有异号或有.ab、0| |abab| |abab 如如设，实数满足，求证：2( )13f xxxa| 1xa|( )( )| 2(| 1)f xf aa 十二不等式的恒成立十二不等式的恒成立, ,能成立能成立, ,恰成立等问题恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？ （常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式 的结构特征，利用数形结合法） 1).1).恒成立问题恒成立问题 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 AxfDD minf xA若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 BxfDD maxf xB如（如（1 1）设实数满足，当时， 的取值范围是_, x y22(1)1xy0xycc（答：） ；21, （2 2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_axx34xa（答：） ；1a （3 3）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围) 1(122xmx2mmx_（答：（,） ） ；71 231 2（4 4）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围nan n1) 1(2) 1(na是_（答：） ；3 2, )2（5 5）若不等式对的所有实数都成立，求的取值范22210xmxm 01xxm 围.（答：）1 2m 2).2). 能成立问题能成立问题 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；Dx AxfD maxf xA若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的Dx BxfD.如如 minf xB已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围axx34Ra _ （答：）1a 3).3). 恰成立问题恰成立问题 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为； AxfD AxfD若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为. BxfD BxfD
