2022年高考理数真题试卷（全国甲卷） 1 含解析

2022年高考理数真题试卷（全国甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（2022·全国甲卷）若 z=1+3i ，则 zzz1= （） A1+3iB13iC13+33iD1333i2（2022·全国甲卷）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则（）A讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3（2022·全国甲卷）设全集 U=2，1，0，1，2，3 ，集合 A=1，2，B=xx24x+3=0 ，则 U(AB)= （） A1，3B0，3C2，1D2，04（2022·全国甲卷）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（） A8B12C16D205（2022·全国甲卷）函数 y=(3x3x)cosx 在区间 2，2 的图像大致为（）ABCD6（2022·全国甲卷）当 x=1 时，函数 f(x)=alnx+bx 取得最大值 2 ，则 f(2)= （） A-1B12C12D17（2022·全国甲卷）在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知 B1D 与平面 ABCD 和平面 AA1B1B 所成的角均为 30° ，则（） AAB=2ADBAB与平面 AB1C1D 所成的角为 30°CAC=CB1DB1D 与平面 BB1C1C 所成的角为 45°8（2022·全国甲卷）沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 AB 上， CDAB “会圆术”给出 AB 的弧长的近似值s的计算公式： s=AB+CD2OA 当 OA=2，AOB=60° 时， s= （） A11332B11432C9332D94329（2022·全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2 ，侧面积分别为 S甲 和 S乙 ，体积分别为 V甲 和 V乙 若 S甲S乙=2 ，则 V甲V乙= （） A5B22C10D510410（2022·全国甲卷）椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称若直线 AP，AQ 的斜率之积为 14 ，则C的离心率为（） A32B22C12D1311（2022·全国甲卷）设函数 f(x)=sin(x+3) 在区间 (0，) 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（） A53，136)B53，196)C(136，83D(136，19612（2022·全国甲卷）已知 a=3132，b=cos14，c=4sin14 ，则（） Ac>b>aBb>a>cCa>b>cDa>c>b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（2022·全国甲卷）设向量 a ， b 的夹角的余弦值为 13 ，且 |a|=1，|b|=3 ，则 (2a+b)b= 14（2022·全国甲卷）若双曲线 y2x2m2=1(m>0) 的渐近线与圆 x2+y24y+3=0 相切，则 m= 15（2022·全国甲卷）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 16（2022·全国甲卷）已知 ABC 中，点D在边BC上， ADB=120°，AD=2，CD=2BD 当 ACAB 取得最小值时， BD= 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17（2022·全国甲卷）记 Sn 为数列 an 的前n项和已知 2Snn+n=2an+1 （1）证明： an 是等差数列； （2）若 a4，a7，a9 成等比数列，求 Sn 的最小值 18（2022·全国甲卷）在四棱锥 PABCD 中， PD 底面 ABCD，CDAB，AD=DC=CB=1，AB=2，DP=3 （1）证明： BDPA ；（2）求PD与平面 PAB 所成的角的正弦值19（2022·全国甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望20（2022·全国甲卷）设抛物线 C：y2=2px(p>0) 的焦点为F，点 D(p，0) ，过 F 的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时， |MF|=3 （1）求C的方程：（2）设直线 MD，ND 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 MN，AB 的倾斜角分别为 ， 当 取得最大值时，求直线AB的方程 21（2022·全国甲卷）已知函数 f(x)=exxlnx+xa （1）若 f(x)0 ，求a的取值范围；（2）证明：若 f(x) 有两个零点 x1，x2 ，则 x1x2<1 四、选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22（2022·全国甲卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x=2+t6y=t （t为参数），曲线 C2 的参数方程为 x=2+s6y=s （s为参数） （1）写出 C1 的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3 的极坐标方程为 2cossin=0 ，求 C3 与 C1 交点的直角坐标，及 C3 与 C2 交点的直角坐标 23（2022·全国甲卷）已知a，b，c均为正数，且 a2+b2+4c2=3 ，证明：（1）a+b+2c3 ；（2）若 b=2c ，则 1a+1c3 答案解析部分1【答案】C【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：由题意得， z=13i，则zz=1+3i13i=4则 zzz1=1+3i3=13+33i.故选：C【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.2【答案】B【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】解：对于A，讲座前中位数为70%+75%2>70%， 所以A错；对于B，讲座后问卷答题的正确率只有1个是80%，4个85%，剩下全部大于等于90%， 所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% ，所以B对；对于C，讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20% ，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20% ，所以D错.故选：B.【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.3【答案】D【知识点】并集及其运算；补集及其运算；一元二次方程【解析】【解答】解：由题意得， B=xx24x+3=0=1，3 ，所以AB=-1，1，2，3 ， 所以U(AB)=2，0 . 故选：D 【分析】先求解方程求出集合B，再由集合的并集、补集运算即可得解.4【答案】B【知识点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积V=2+42×2×2=12 .故选：B.【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.5【答案】A【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值【解析】【解答】解：由题意得，f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x)，又 x2，2 所以f(x)为奇函数，排除BD；又当x(0，2时，3x-3-x>0，cosx>0，所以f(x)>0，排除C.故选：A.【分析】由函数的奇偶性排除BD，结合指数函数、三角函数的性质逐项排除C，即可得解.6【答案】B【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【解答】因为函数f(x)定义域为（0，+），所以依题可知，f(1)=-2 ，f'(1)=0，又f'x=axbx2 ，则aln1+b=2ab=0，解得a=2b=2 ，所以f'x=2x+2x2，由f'(x)>0，得0<x<1，由f'(x)<0，得x>1，因此函数f(x)在（0，1）上递增，在（1，+）上递减，则当x=1时取最大值，满足题意，即有f'2=1+12=12故选：B.【分析】根据题意可知f(1)=-2 ，f'(1)=0，列式即可解得a，b，再根据f'(x)即可解出7【答案】D【知识点】直线与平面所成的角【解析】【解答】解：如图所示： 不妨设AB=a，AD=b，AA1=c，依题以及长方体的结构特征可知， B1D与平面ABCD所成角为B1DB， B1D与平面AA1B1B所成角为 DB1A， 所以sin30°=cB1D=bB1D ， 即b=c ，B1D=2c=a2+b2+c2 ， 解得a=2c 对于A， AB=a，AD=b ，AB=2AD ，A错误； 对于B，过B作BEAB1于E，易知BE平面AB1C1D，所以AB与平面AB1C1D所成角为BAE， 因为tanBAE=ca=22 ，所以BAE30° ，B错误； 对于C，AC=a2+b2=3c，CB1=b2+c2=2c，ACCB1，C错误； 对于D， B1D与平面BB1C1C所成角为DB1C ，又sinDB1C=CDB1D=a2c=22 ，而0°<DB1C<90°，所以DB1C=45° D正确 故选：D 【分析】先设AB=a，AD=b，AA1=c，再由题意得a=2c，b=c ，最后根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出8【答案】B【知识点】扇形的弧长与面积【解析】【解答】解：如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OCAB，又CDAB，所以O，C，D三点共线，即OD=OA=OB=2 ，又AOB=60° ，所以AB=OA=OB=2，则OC=3 ，故CD=23 ，所以s=AB+CD2OA=2+2322=11432 .故选：B.【分析】连接OC，分别求出AB，OC，CD，再根据题意的