2022年高考理数真题试卷（全国甲卷） 含解析

2022年高考理数真题试卷（全国甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（2022·全国甲卷）若 z=1+3i ，则 zzz1= （） A1+3iB13iC13+33iD1333i【答案】C【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：由题意得， z=13i，则zz=1+3i13i=4则 zzz1=1+3i3=13+33i.故选：C【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.2（2022·全国甲卷）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则（）A讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】解：对于A，讲座前中位数为70%+75%2>70%， 所以A错；对于B，讲座后问卷答题的正确率只有1个是80%，4个85%，剩下全部大于等于90%， 所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% ，所以B对；对于C，讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20% ，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20% ，所以D错.故选：B.【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.3（2022·全国甲卷）设全集 U=2，1，0，1，2，3 ，集合 A=1，2，B=xx24x+3=0 ，则 U(AB)= （） A1，3B0，3C2，1D2，0【答案】D【知识点】并集及其运算；补集及其运算；一元二次方程【解析】【解答】解：由题意得， B=xx24x+3=0=1，3 ，所以AB=-1，1，2，3 ， 所以U(AB)=2，0 . 故选：D 【分析】先求解方程求出集合B，再由集合的并集、补集运算即可得解.4（2022·全国甲卷）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（） A8B12C16D20【答案】B【知识点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积V=2+42×2×2=12 .故选：B.【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.5（2022·全国甲卷）函数 y=(3x3x)cosx 在区间 2，2 的图像大致为（）ABCD【答案】A【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值【解析】【解答】解：由题意得，f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x)，又 x2，2 所以f(x)为奇函数，排除BD；又当x(0，2时，3x-3-x>0，cosx>0，所以f(x)>0，排除C.故选：A.【分析】由函数的奇偶性排除BD，结合指数函数、三角函数的性质逐项排除C，即可得解.6（2022·全国甲卷）当 x=1 时，函数 f(x)=alnx+bx 取得最大值 2 ，则 f(2)= （） A-1B12C12D1【答案】B【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【解答】因为函数f(x)定义域为（0，+），所以依题可知，f(1)=-2 ，f'(1)=0，又f'x=axbx2 ，则aln1+b=2ab=0，解得a=2b=2 ，所以f'x=2x+2x2，由f'(x)>0，得0<x<1，由f'(x)<0，得x>1，因此函数f(x)在（0，1）上递增，在（1，+）上递减，则当x=1时取最大值，满足题意，即有f'2=1+12=12故选：B.【分析】根据题意可知f(1)=-2 ，f'(1)=0，列式即可解得a，b，再根据f'(x)即可解出7（2022·全国甲卷）在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知 B1D 与平面 ABCD 和平面 AA1B1B 所成的角均为 30° ，则（） AAB=2ADBAB与平面 AB1C1D 所成的角为 30°CAC=CB1DB1D 与平面 BB1C1C 所成的角为 45°【答案】D【知识点】直线与平面所成的角【解析】【解答】解：如图所示： 不妨设AB=a，AD=b，AA1=c，依题以及长方体的结构特征可知， B1D与平面ABCD所成角为B1DB， B1D与平面AA1B1B所成角为 DB1A， 所以sin30°=cB1D=bB1D ， 即b=c ，B1D=2c=a2+b2+c2 ， 解得a=2c 对于A， AB=a，AD=b ，AB=2AD ，A错误； 对于B，过B作BEAB1于E，易知BE平面AB1C1D，所以AB与平面AB1C1D所成角为BAE， 因为tanBAE=ca=22 ，所以BAE30° ，B错误； 对于C，AC=a2+b2=3c，CB1=b2+c2=2c，ACCB1，C错误； 对于D， B1D与平面BB1C1C所成角为DB1C ，又sinDB1C=CDB1D=a2c=22 ，而0°<DB1C<90°，所以DB1C=45° D正确 故选：D 【分析】先设AB=a，AD=b，AA1=c，再由题意得a=2c，b=c ，最后根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出8（2022·全国甲卷）沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 AB 上， CDAB “会圆术”给出 AB 的弧长的近似值s的计算公式： s=AB+CD2OA 当 OA=2，AOB=60° 时， s= （） A11332B11432C9332D9432【答案】B【知识点】扇形的弧长与面积【解析】【解答】解：如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OCAB，又CDAB，所以O，C，D三点共线，即OD=OA=OB=2 ，又AOB=60° ，所以AB=OA=OB=2，则OC=3 ，故CD=23 ，所以s=AB+CD2OA=2+2322=11432 .故选：B.【分析】连接OC，分别求出AB，OC，CD，再根据题意的新定义即可得出答案.9（2022·全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2 ，侧面积分别为 S甲 和 S乙 ，体积分别为 V甲 和 V乙 若 S甲S乙=2 ，则 V甲V乙= （） A5B22C10D5104【答案】C【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）【解析】【解答】解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，则S甲S乙=r1lr2l=r1r2=2，所以r1=2r2，又2r1l+2r2l=2 ，则r1+r2l=1 ，所以r1=23l，r2=13l ，所以甲圆锥的高1=l2r12=l223l2=53l，乙圆锥的高2=l2r22=l213l2=223l ，所以V甲V乙=13r12h113r22h2=49l2×53l19l2×223l=10 .故选：C.【分析】设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，根据圆锥的侧面积公式可得r1=2r2，再结合圆心角之和可将r1，r2分别用l表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.10（2022·全国甲卷）椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称若直线 AP，AQ 的斜率之积为 14 ，则C的离心率为（） A32B22C12D13【答案】A【知识点】斜率的计算公式；椭圆的简单性质【解析】【解答】解：依题意易知A（-a，0） ，设P（x1，y1） ，则Q（-x1，y1），则KAP=y1x1+a，KAQ=y1x1+a ，故KAP·KAQ=y1x1+a·y1x1+a=y12x12+a2=14 ，又x12a2+y12b2=1 ，则y12=b2a2x12a2 ，所以b2a2x12a2x12+a2=14，即b2a2=14，所以椭圆C的离心率e=ca=1b2a2=114=32 .故选：A.【分析】设P（x1，y1） ，则Q（-x1，y1），根据斜率公式结合题意可得KAP·KAQ=y12x12+a2=14，再根据x12a2+y12b2=1，将y1用x1表示，化简求得b2a2=14，再结合离心率公式e=1b2a2即可得解.11（2022·全国甲卷）设函数 f(x)=sin(x+3) 在区间 (0，) 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（） A53，136)B53，196)C(136，83D(136，196【答案】C【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的零点与最值【解析】【解答】解：依题意可得>0 ，因为x（0，），所以x+33，+3 ，要使函数在区间（0，）恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，3，3 的图象如下所示：则52<+33，解得136<83 ，即 (136，83 故选：C【分析】由x的取值范围得到x+3的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式，解得即可12（2022·全国甲卷）已知 a=3132，b=cos14，c=4sin14 ，则（） Ac>b>aBb>a>cCa>b>cDa>c>b【答案】A【知识点】利用导数研究函数的单调性；单位圆与三角函数线【解析】【解答】解：因为cb=4tan14，因为当x0，2，sinx<x<tanx， 所以tan14>14 ，即cb>1， 所以c>b ；设fx=cosx+12x21，x0，+，f'(x)=-sinx+x>0 ，所以f(x)在（0，+）单调递增，则f14>f0=0， 所以cos143132>0 ，所以b>a， 所以c>b>a ，故选：A【分析】由cb=4tan14结合三角函数的性质可得c>b；构造函数fx=cosx+12x21，x0，+，利用导数可得b>a，即可得解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（2022·全国甲卷）设向量 a ， b 的夹角的余弦值为 13 ，且 |a|=1，|b|=3 ，则 (2a+b)b= 【答案】11【知识点】平面向量数量积的性质及其运