用正割对数计算积分的方法
用正割对数计算积分的方法下面介绍一种利用正割对数，计算积分的方法。相关资料下载网址：链接:提取码:mh67链接:提取码:gni4三角函数微积分访问码：ua44正割对数微积分微云文件分享:正割对数微积分下载地址:第一部分用正割对数计算积分的方法一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率tga=y=f(x)=u(x)=y/x，函数f(x)的导数u(x)等于切线的斜率，tga=u(x)，tga=sina/cosa，导数等于微分，微分积分后变成原函数，即 f(x)= tga=f(x) 因为，a=arctgf(x)，根据泰勒展开 3 5 2n+1 x x n x 2n+2arc tg x=x- + -.+(-1) +o(x ) 3 5 2n+1 所以, 3 5 2n+1 f (x) f (x) n f (x) 2n+2 a=f(x)- + -.+(-1) +o(x ) 3 5 2n+1 方法1, 推导过程可参见微积分学导论，1958年版，曹一华，江体乾编译推导过程可参见无穷小分析基础,苏联，.普里瓦诺夫，C.A加里别伦著因为, tga=y=f(x)=u(x)=y/x, a=arctgy,所以, sina d(cosa) f(x)= tgada= da=- =-lncosa+C cosa cosa 根据泰勒展开 2 5 6 2m a a a m a 2m+1cosa=1- + - -.+(-1) +o(a ) 2! 4! 6! (2m)! 所以, 2 5 6 2m a a a m a 2m+1f(x)=-lncosa+C=-ln1- + - -.+(-1) +o(a )+C 2! 4! 6! (2m)! 可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版微积分教程第一卷第一分册 6 9)写出函数ln cos x的展开式至x 的项。根据5) 1 2 1 3 3 ln cos x=ln1+(cos x-1)=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(cos x-1) ) 2 2 1 2 1 3 6 ln cos x=ln1+(cos x-1)=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x ) 2 2 所以, 1 2 1 3 3f(x)=-lncosa+C=(cos a-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(cos x-1) ) 2 3 1 2 1 3 6f(x)=-lncosa+C=(cos a-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x ) 2 3 2 4 6 a a a 6f(x)=-lncosa+C= + - +o(a ) 2 12 45 方法2,推导过程参见高等混合算学下册，商务印书馆1925年出版，梧兹（Woods），巴雷（Bailey）著，长沙易俊元译, 9. tanudu=logsec u +C 10. cotudu=logsin u +Clnsin=-lncsc, lncos=-lnsec, lgtg=lgsec-lgcsc, lgctg=lgcsc-lgsec,所以, sina d(cosa) f(x)= tanada= da=- =-lncosa+C=lnseca+C cosa cosa 所以, cosa d(sina) f(x)= cotada= da=- =lnsina+C sina csina 因为, tga=y=f(x)=u(x)=y/x,所以, f(x)= tgada=logsec a +C 根据泰勒展开 2 3 5 n x x x n-1 x nln(1+x)=x- + - -.+(-1) +o(x ) 2 3 4 n 所以, 1 2 1 3 3ln sec x=ln1+(sec x-1)=(sec x-1)- (sec x-1) + (sec x-1) + o(sec x-1) ) 2 2 1 2 1 3 6ln sec x=ln1+(sec x-1)=(sec x-1)- (sec x-1) + (sec x-1) + o(x ) 2 2所以, 1 2 1 3 6f(x)=lnseca+C=(sec a-1)- (sec x-1) + (sec x-1) +o(sec a-1) ) 2 2 1 2 1 3 6f(x)=lnseca+C=(sec a-1)- (sec x-1) + (sec x-1) +o(a ) 2 2因为, 2 5 6 2m a a a m a 2m+1cosa=1- + - -.+(-1) +o(a ) 2! 4! 6! (2m)!
