2022年全国统一高考文科数学试卷（全国甲卷）
2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）数学（文科）注意事项：1答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合，则（ ）A B C D 2某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（ ）A讲座前问卷答题的正确率的中位数小于B讲座后问卷答题的正确率的平均数大于C讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3若则（ ）A B C D4如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）A8 B12 C16 D205将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）A B C D 6，从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）A B C D7函数在区间的图像大致为（ ）A BC D8当时，函数取得最大值，则（ ）A B C D19在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）A BAB与平面所成的角为C D与平面所成的角为10甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则（ ）A B C D11已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点若，则C的方程为（ ）A B C D 12已知，则（ ）A B C D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量若，则_14设点M在直线上，点和均在上，则的方程为_15记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值_16已知中，点D在边BC上，当取得最小值时，_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.63518（12分）记为数列的前n项和已知（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列，求的最小值19（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直（1）证明：平面；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）20（12分）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线（1）若，求a：（2）求a的取值范围21（12分）设抛物线的焦点为F，点，过的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，（1）求C的方程：（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为当取得最大值时，求直线AB的方程（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）（1）写出的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标23选修4-5：不等式选讲（10分）已知均为正数，且，证明：（1）（2）若，则2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）数学（文科）参考答案注意事项：1答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. A 2. B 3. D 4. B 5.C 6. C 7.A 8.B 9. D 10. C 11. B 12.A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. #14. 15. 2（满足皆可）16. #三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. （1）A，B两家公司长途客车准点的概率分别为， （2）有18. （1）证明见解析； （2）19. （1）如图所示：，分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面（2）20. （1）3 （2）21. （1）； （2）.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. （1）； （2）的交点坐标为，的交点坐标为，选修4-5：不等式选讲23.（1）证明：由柯西不等式有，所以，当且仅当时，取等号，所以；（2）证明：因为，由（1）得，即，所以，由权方和不等式知，当且仅当，即，时取等号，所以.第 7 页 共 7 页
