2022年江苏数学试题含答案详解

本文格式为Word版，下载可任意编辑2022年江苏数学试题含答案详解 2022年普遍高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析 数学试题 注 意 事 项 考生在答题前请专心阅读本留神事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）。本卷总分值160分，考试时间为120分钟。考试终止后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请专心核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤依次在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答务必用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请留神字体工整，笔迹领会。 5.如需作图，须用2B铅笔绘、写领会，线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。 参考公式： 锥体的体积公式: V锥体= 1Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。 3一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1、设集合A=-1,1,3，B=a+2,a2+4,AB=3，那么实数a=_. 解析 测验集合的运算推理。3?B, a+2=3, a=1. 2、设复数z得志z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），那么z的模为_. 解析 测验复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。 3、盒子中有大小一致的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ _. 解析测验古典概型学识。p?3?1 624、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间5,40中，其频率分布直方图如下图，那么其抽样的100根中，有_根在棉花纤维的长度小于20mm。 解析测验频率分布直方图的学识。 1 100×（0.001+0.001+0.004）×5=30 5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x?R)是偶函数，那么实数a=_ 解析测验函数的奇偶性的学识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=1。 x2y26、在平面直角坐标系xOy中，双曲线?1上一点M，点M的横坐标是3，那么M到 412双曲线右焦点的距离是_ 解析测验双曲线的定义。MF4MF=4。 ?e?2，d为点M到右准线x?1的距离，d=2， d27、右图是一个算法的流程图，那么输出S的值是_ 解析测验流程图理解。1?2?22?24?31?33,输出S?1?2?2?2?63。 8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，那么a1+a3+a5=_ 解析测验函数的切线方程、数列的通项。 25在点(ak,ak2)处的切线方程为：y?ak2?2ak(x?ak),当y?0时，解得x?所以ak?1?ak， 2ak,a1?a3?a5?16?4?1?21。 2229、在平面直角坐标系xOy中，已知圆x?y?4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，那么实数c的取值范围是_ 解析测验圆与直线的位置关系。 圆半径为2， 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1， |c|?1，c的取值范围是（-13，13）。 1310、定义在区间?0,?上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作2?PP1x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,那么线段P1P2的长为_。 解析 测验三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值， 且其中的x得志6cosx=5tanx，解得sinx= 22。线段P1P2的长为 33?2211、已知函数f(x)?x?1,x?0,那么得志不等式f(1?x)?f(2x)的x的范围是_。 x?0?1, 2 2?1?x?2x解析 测验分段函数的单调性。?x?(?1,2?1) ?2?1?x?0?x2x312、设实数x,y得志3xy8，49，那么4的最大值是 。 yy2解析 测验不等式的根本性质，等价转化思想。 111x22x3x221x3()?16,81，2?,，4?()?2?2,27，4的最大值是27。 xy83yyyyxy 13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c， ba?6cosC，那么abtanCtanC?=_。 tanAtanB解析 测验三角形中的正、余弦定理三角函数学识的应用，等价转化思想。一题多解。 （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。 当A=B或a=b时得志题意，此时有：cosC?11?cosC1C22C?，tan?，tan， 321?cosC222tanA?tanB?1tanC2?2， tanCtanC?= 4。 tanAtanBbaa2?b2?c23c22222226ab?a?b,a?b?（方法二）?6cosC?6abcosC?a?b， ab2ab2tanCtanCsinCcosBsinA?sinBcosAsinCsin(A?B)1sin2C?tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB1c2c2c2?4 由正弦定理，得：上式=?21cosCab(a2?b2)1?3c662 14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 2(梯形的周长）S?,那么S的最小值是_。 梯形的面积解析 测验函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。 3 22(3?x)4(3?x)设剪成的小正三角形的边长为x，那么：S?(0?x?1) 21331?x?(x?1)?(1?x)22（方法一）利用导数求函数最小值。 4(3?x)24(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)，S?(x)? S(x)?222(1?x)31?x34(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)4?2(3x?1)(x?3) ?2222(1?x)(1?x)331S?(x)?0,0?x?1,x?， 311当x?(0,时，S?(x)?0,递减；当x?,1)时，S?(x)?0,递增； 33故当x?1323时，S的最小值是。 33（方法二）利用函数的方法求最小值。 4t241111?2?令3?x?t,t?(2,3),?(,)，那么：S? 86t323?t?6t?83?1t2t故当? 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题总分值14分） 在平面直角坐标系xOy中，点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。 (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t得志(AB?tOC)·OC=0，求t的值。 解析本小题测验平面向量的几何意义、线性运算、数量积，测验运算求解才能。总分值14分。 1t31323,x?时，S的最小值是。 833?（1）（方法一）由题设知AB?(3,5),AC?(?1,1)，那么 ?AB?AC?(2,6),AB?AC?(4,4). ?所以|AB?AC|?210,|AB?AC|?42. 4 故所求的两条对角线的长分别为42、210。 （方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，那么: E为B、C的中点，E（0，1） 又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210； ?（2）由题设知：OC=(2,1)，AB?tOC?(3?2t,5?t)。 由(AB?tOC)·OC=0，得：(3?2t,5?t)?(?2,?1)?0， 从而5t?11,所以t?11。 5|OC|5?2?OC11或者：AB·OC ?tOC，AB?(3,5),t?AB?2? 16、（本小题总分值14分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。 (1)求证：PCBC； (2)求点A到平面PBC的距离。 解析 本小题主要测验直线与平面、平面与平面的位置关系，测验几何体的体积，测验空 间想象才能、推理论证才能和运算才能。总分值14分。 （1）证明：由于PD平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PDBC。 由BCD=900，得CDBC， 又PD?DC=D，PD、DC?平面PCD， 所以BC平面PCD。 由于PC?平面PCD，故PCBC。 （2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，那么： 易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。 由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC， 由于PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。 易知DF= 2，故点A到平面PBC的距离等于2。 2 5 7