2022年深圳市高三二模考试数学试卷答案详解

试卷类型：A2022年深圳市高三年级第二次调研考试数学本试卷共6页，22小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上3非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】C【解析】【分析】求出集合，由并集的定义即可求出答案.【详解】因为，则.故选：C.2. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【2题答案】【答案】C【解析】【分析】先利用复数的除法化简复数，再利用复数的模公式求解.【详解】解：因为复数z满足，所以，则，故选：C3. 己知点，向量，则向量（ ）A. B. C. D. 【3题答案】【答案】D【解析】【分析】由向量的减法和向量的坐标运算即可求出答案.【详解】设，所以 ，整理得：，所以.故选：D.4. 深圳是一座志愿者之城、爱心之城深圳市卫健委为了解防疫期间志愿者的服务时长（单位：小时），对参加过防疫的志愿者随机抽样调查，将样本中个体的服务时长进行整理，得到如图所示的频率分布直方图据此估计，7.2万名参加过防疫的志愿者中服务时长超过32小时的约有（ ）A. 3.3万人B. 3.4万人C. 3.8万人D. 3.9万人【4题答案】【答案】A【解析】【分析】由频率分布直方图求出样本中服务时长超过小时的个体频率，即可估计人数；【详解】解：依题意样本中服务时长超过小时的个体频率为；由样本估计总体，可得总体中服务时长超过小时的个体数为（万人）；故选：A5. 已知一个球的表面积在数值上是它的体积的倍，则这个球的半径是（ ）A. 2B. C. 3D. 【5题答案】【答案】D【解析】【分析】根据球的表面积公式和体积公式，列出方程求解即可【详解】设球的半径为，则根据球的表面积公式和体积公式，可得，化简得.故选：D6. 若是函数图象的对称轴，则的最小正周期的最大值是（ ）A. B. C. D. 【6题答案】【答案】A【解析】【分析】根据余弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意，解得，因为，所以且，所以的最小正周期，所以当时；故选：A7. 已知，若过点可以作曲线三条切线，则（ ）A. B. C. D. 【7题答案】【答案】B【解析】【分析】设切点为，切线方程为，求出函数的导函数，即可得到，整理得，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，依题意有三个零点，即可得到不等式组，从而得解；【详解】解：设切点为，切线方程为，由，所以，所以，则，所以，令，则，因为，所以当或时，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以当时取得极大值，当时取得极小值，即，依题意有三个零点，所以且，即；故选：B8. 过抛物线的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于（ ）A. 或B. 或C. 或D. 与p值有关【8题答案】【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，根据抛物线的定义和相似三角形列出比例式，再利用直角三角形的边角关系求出直线的倾斜角.【详解】如图所示，由抛物线的焦点为，准线方程为，分别过A，B作准线的垂线，垂足为，直线l交准线于，如图所示：则，所以，所以，即直线l的倾斜角等于，同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 如图，在正方体中，E为的中点，则下列条件中，能使直线平面的有（ ）A. F为的中点B. F为的中点C. F为的中点D. F为的中点【9题答案】【答案】ACD【解析】【分析】取棱的中点，说明与共面，证明平面平面，即可得【详解】如图，分别是棱的中点，易证与共面，由，平面，平面，则平面，同理平面，而是平面内相交直线，则得平面平面，平面，则平面，观察各选项，ACD满足，故选：ACD10. 已知随机变量X服从正态分布，密度函数，若，则（ ）A. B. C. 在上是增函数D. 【10题答案】【答案】AD【解析】【分析】根据正态曲线的性质，再结合正态分布的密度曲线定义，由此逐一分析四个选项从而得出答案.【详解】随机变量服从正态分布，正态曲线关于直线对称，在上是减函数，选项C错误；，根据正态曲线的对称性可得，选项A正确；，选项B错误；，选项D正确.故选：AD.11. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【11题答案】【答案】AD【解析】【分析】利用赋值法判断A、B、C，对二项式及展开式两边对取导，再令，即可判断D；【详解】解：因为，令，则，故A正确；令，则，所以，故B错误；令，则，所以，故C错误；对两边对取导得，再令得，故D正确；故选：AD12. P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则（ ）A. 弦长的最小值为B. 存在点P，使得C. 直线经过一个定点D. 线段的中点在一个定圆上【12题答案】【答案】ACD【解析】【分析】设，则为中点，且，再根据勾股定理、等面积法及锐角三角函数得到、，根据的范围，即可判断A、B，设，求出以为直径的圆的方程，两圆方程作差，即可得到切点弦方程，从而判断C，再根据圆的定义判断D；【详解】解：依题意，即，设，则为的中点，且，所以，所以，又，所以，所以，故A正确，B不正确；设，则，所以以为直径的圆的方程为，则，即，所以直线方程为，所以直线过定点，故C正确；又，所以的中点在以为直径的圆上，故D正确；故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知，则_【13题答案】【答案】【解析】【详解】解：由题意可知： .14. 设，则的最小值为_.【14题答案】【答案】【解析】【详解】试题分析：因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.考点：基本不等式的应用.【方法点晴】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，属于中档试题，此类问题解答中要注意基本不等式的成立的条件和等号成立的条件，灵活应用，着重考查了构造思想的应用，本题的解答中把，在利用基本不等式求得最小值，其中灵活利用是解答本题的关键.15. 已知函数是偶函数，则_【15题答案】【答案】#0.5【解析】【分析】依据偶函数的定义建立方程即可求解.【详解】由题意知：是偶函数，则，即：即：即：，解得：.故答案为：.16. 祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果裁得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”现已知直线与双曲线及其渐近线围成的平面图形G如图所示，若将图形G被直线所截得的两条线段绕y轴旋转一周，则形成的旋转面的面积_；若将图形G绕y轴旋转一周，则形成的旋转体的体积_【16题答案】【答案】 . . 【解析】【分析】由直线，其中，分步联立方程组和，求得的坐标，进而求得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为，高为4的圆柱的体积相同，利用圆柱的体积公式，即可求解.【详解】如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为，由直线，其中，联立方程组，解得，联立方程组，解得，所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为，根据“幂势既同，则积不容异”，可得该几何体的体积与底面面积为，高为4的圆柱的体积相同，所以该几何体的体积为.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知数列的前n项和（1）求数列的通项公式；（2）若，求满足条件的最大整数n【17题答案】【答案】（1） （2）5【解析】【分析】（1）由与关系化简，再由等比数列通项公式求解（2）由等比数列前项和公式求和后解不等式【小问1详解】时，得，时，得，故是首项为3，公比为2的等比数列，【小问2详解】由（1）得，故整理得，即，而，故的最大值为19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）证明：；（2）当时，求的面积S【19题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）或【解析】【分析】(1)利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦， 整理可证明成立.(2)由正弦定理及已知中的和的值，整理可求得边值，进而利用三角形面积公式，即可求解.【小问1详解】由题意：因为正弦定理：，所以对于，有，整理得：，所以，因为，为的三个角，所以，得.【小问2详解】由(1)及题意可得：，解得或时，时，所以面积为或21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，M是侧棱的中点，且平面（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值【21题答案】【答案】（1）详见解析； （2）【解析】【分析】（1）由平面，得到，易得，进而得到平面，然后利用面面垂直的判定定理证明；（2）以O为原点，建立空间直角坐标系，先求得平面PBC的一个法向量，设与平面所成角，由求解.【小问1详解】证明：因为平面，所以，又底面为正方形， 所以，又，所以平面，又平面ABCD，所以平面平面；【小问2详解】取AD的中点O，连接PO，则平面ABCD，则以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系：设AB=2，则，所以，设平面PBC的一个法向量为，则，即，令，则，x=0，则，设与平面所成角，所以.23. 202年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续豪两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为；甲与丙比赛，丙赢的橱率为p，其中（1）若第一场比赛，业余队可以安接乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛请分别计算两种安排下业余