第一章：开关理论基础

内容提要,1. 逻辑代数的基本运算；,2. 逻辑函数及其表示方法（真值表、逻辑表达式、逻辑图、工作波形图和卡诺图）；,3. 逻辑代数的运算公式和基本规则；,4.逻辑函数的化简方法（代数化简法和卡诺图化简法） 。,逻辑代数的基本运算,逻辑：一定的因果关系。,逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法，是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数学家乔治·布尔(George Boole)于1847年提出的,所以又称为布尔代数。,1.3 逻辑函数及其描述工具,无论是数字仪表，还是计算机，其内部功能比较复杂。但其内部通常由几种或几十种最基本的电子电路组成。在这些电子电路中多数是数字逻辑电路。,数字逻辑电路：用逻辑函数进行描述的电路。,、输入、输出具有一定的逻辑关系（条件、结果）,、实现逻辑函数的电路叫做逻辑电路,、描述输出、输入逻辑关系的表达式叫做逻辑表达式,、逻辑电路的输出、输入量，都用数字量表示,、实现逻辑关系的电子电路通称为门电路。,数字逻辑电路特点：,1.3 逻辑函数及其描述工具,布尔代数,逻辑代数是分析和设计数字电路的基本工具。因此首先要了解逻辑代数有什么基本特性，逻辑代数和普通代数又有什么异同之处。,逻辑代数和普通代数的区别：,共同点：, 都用字母 A、B、C - 等表示变量。, 仍遵守与普通代数一样的运算优先顺序（先括号、其次乘、最后加）。,不同点：, 这些变量 A.B.C 的取值范围是 0 和 1 。, 其运算规则是按逻辑规则来定义的。, 0、1不再表示数量的大小，只代表不同的逻辑状态。,一、基本逻辑运算：与、或、非 三种。,为了便于理解基本逻辑关系的基本含义，先通过一些简单例子作一说明。,1、“与”运算及与门,逻辑与的概念：若决定一件事的所有条件都成立，这件事的结果就会发生。否则这件事就不会发生。这样的逻辑关系称为：逻辑与、逻辑乘、或称为：“与”运算。,能够实现与逻辑运算的电子电路称为与门电路。,布尔代数中的三种基本运算,开关断开为 0,开关闭合为 1,灯亮为 1,灯不亮为 0,假设：,用四个式子表示：,0 · 0 = 0,0 · 1 = 0,1 · 0 = 0,1 · 1 = 1,与逻辑的表示方法：（四种）,真值表：,将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即可得到真值表。,逻辑表达式：,把输出与输入之间的逻辑关系写出与运算的逻辑代数式，即为逻辑表达式。,F = A · BF<= A and B,用串连开关电路简单说明与逻辑关系：,A,B,有0为0全1为1,工作波形图,把输入和输出之间的逻辑关系用波形图的方法表示，即为工作波形图。,有0为0，全1为1,逻辑图（符号）,将逻辑函数中各变量之间的逻辑关系用图形符号表示，即为逻辑图。,把实现与逻辑运算的单元电路叫做与门。,用串连开关电路简单说明与逻辑关系：,F = A · B,逻辑或的概念：决定某一件事的诸条件中，只要有一个或一个以上的条件满足，这件事的结果就会发生，否则结果不会发生。这样的逻辑关系称为：逻辑或、逻辑加、或称为“或”运算。,0 0 = 0,0 1 = 1,1 0 = 1,1 1 = 1,假设：,开关闭合为 1,开关断开为 0,灯亮为 1,灯不亮为 0,用四个式子表示：,用并联开关电路简单说明或逻辑关系：,或逻辑的表示方法：,2、“或”运算及或门,真值表：,工作波形图,逻辑图（符号）,逻辑表达式：,F = A + BF<= A or B,把实现或逻辑运算的单元电路叫做或门。,有1为1全0为0,“或”运算及或门,1,逻辑非的概念：条件具备了，结果不会发生。条件不具备，结果一定发生。,A F0 11 0,逻辑表达式：,工作波形:,逻辑符号：,开关闭合为 1 开关断开为 0灯亮为 1灯不亮为 0,假设：,把实现非逻辑运算的单元电路叫做非门。,3、“非”运算及非门,F<= not A,逻辑运算,逻辑符号,真值表,基本运算规则,与,逻辑表达式,或,非,三种基本逻辑运算小结,实际的逻辑问题比与、或、非复杂得多。利用这三种基本逻辑关系，可以得出处理实际逻辑问题的各种复合逻辑，如与非、或非、与或非、异或、同或逻辑等。,1、 与非逻辑,与非逻辑是与逻辑运算和非逻辑运算的组合。它是将输入变量先进行与运算，然后再进行非运算。,与非逻辑表达式：,与非门逻辑符号：,能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门。,二、复合逻辑运算：,&,A,F,B,F<= not (A and B),与非门真值表：,有0为1,全1为0,与非门运算顺序是： 先与后非,即：当输入A、B中，只要有一个0,输出就是1,只有输入全为1时，输出才是0。,工作波形图：,与非逻辑,或非逻辑是或逻辑运算和非逻辑运算的组合。它是将输入变量先进行或运算，然后再进行非运算。,能够实现或非逻辑运算的电路称为或非门。,或非逻辑表达式：,或非门逻辑符号：,或非门真值表：,或非门运算顺序是： 先或后非,有1为0,全0为1,即：当输入A、B中，只要有一个1,输出就是0,只有输入全为0时，输出才是1。,或非门工作波形,2、或非逻辑,1,F,F<= not (A or B),与或非逻辑是与逻辑运算和或非逻辑运算的组合。它是将输入变量A,B及C,D先进行与运算，然后再进行或非运算。,能够实现与或非逻辑运算的电路称为与或非门。,逻辑符号：,与或非门真值表：,工作波形图：,逻辑表达式：,每组有0为1,某组全1为0。,3、与或非门,F,A,B为两个单刀双掷开关。,灯亮的条件是：一个开关打在上面，另一个开关打在下面。两个开关同时打在上面或者下面，则灯不亮。,假设：,开关打在上面为1开关打在下面为0,灯亮为1灯灭为0,真值表：,由真值表写出逻辑表达式：,取F=1列与项逻辑式。,对任何一种输入变量组合，变量之间是“与”运算。,如果输入变量是“1”,记原变量。如果输入变量是“0”,记反变量。,各组合之间是“或”逻辑关系。,异或运算特点：,相异为1，相同为0,4、异或门,异或逻辑符号：,异或逻辑基本运算规律：,0 0 = 0 1 1 = 01 0 = 0 1 = 1,推论：,异或门工作波形图：,异或逻辑,F,假设：,开关打在上面为1开关打在下面为0,灯亮为1灯灭为0,灯亮的条件是：两个开关均打在上面，或均打在下面。,同或运算特点：,相同为1,相异为0。,同或逻辑符号：,同或逻辑和异或逻辑互为反函数。,同或逻辑真值表,同或逻辑表达式,5、同或门,1、逻辑函数间的相等,设有两个逻辑函数,F = f (A1A2-An)G = g (A1A2-An),看出：F和G都是变量 A1A2-An的逻辑函数。,如果:2n 种组合中每一状态组合F和G值相同，则称为F和G相等，记作F=G。,如果F=G，其真值表相同。反之，F和G真值表相同，F一定等于G。,因此，要证明两个逻辑函数相等，只需列出真值表，若真值表相同，那么这两个函数一定相等。,三、布尔代数的基本定律和规则,例：设,证明 F = G,证：,(1)、列出F和G的真值表,从真值表中可以看出： 每一种状态组合 F 和 G 都相等，所以 F = G。,即：F 和 G是同一逻辑的两种不同表达式。,逻辑代数的基本定律和规则,0 0,0 0,0 0,0 0,1 1,0 0,1 1,1 1,(2)、实现F和G的逻辑电路图,两种不同的电路形式，表示同一种逻辑功能。,将运算符号变为逻辑符号,逻辑代数的基本定律和规则,2、逻辑代数的基本公式,（1）常量之间的关系,请特别注意与普通代数不同之处,与,或,这些常量之间的关系，同时也体现了逻辑代数中的基本运算规则，也叫做公理，它是人为规定的，这样规定，既与逻辑思维的推理一致，又与人们已经习惯了的普通代数的运算规则相似。,布尔代数,（2）常量与变量之间的关系,普通代数结果如何？,（3）与普通代数相似的定理,布尔代数,（4）特殊的定理,De · morgen定理,布尔代数,两点说明：,1、乘法运算中乘号“·”可以省略，A · B 可写为AB,2、运算顺序，先括号，再算乘，最后加。,这些基本定律反应了逻辑代数的基本规律，其正确性都可以利用真值表加以验证。,例：证明反演率,从真值表中看出：,布尔代数的基本公式,作业,P36,4,6,一、基本逻辑运算：与、或、非 三种。,二、复合逻辑运算：,与非、或非、与或非、异或、同或 五种,三、逻辑代数的基本定律和规则,1、逻辑函数间的相等,2、逻辑代数的基本公式,1.3 逻辑函数及其描述工具,上节课重点,逻辑代数的基本公式,上节课重点,（1）、代入规则,任何一个含变量 A 的等式中，如果将出现 A 的地方，都代之一个逻辑函数 F ，则等式仍然成立。,例1：分配率A(B+C) = AB+AC,令：C = EF 代入公式,A(B+EF),证:A(B+EF),用乘对加的分配率证明,例2:,则：,令：A = CD,证：,代入规则之所以正确：,是因为任何一个逻辑函数和任何一个逻辑变量一样，只有两种可能取值 (0 ,1),所以可以将逻辑函数当作一个逻辑变量对待。,3、逻辑代数三个规则,= AB+AEF,= AB+AEF, 有了代入规则，基本定律不受变量限制，扩大了基本公式的应用范围。,（2）、反演规则：,（摩根定理）,目的：,求原函数的反函数,已知函数为 F ，将 F 中的所有 “·” 换为“”，“” 换为 “·” ，0 换为 1 ，1 换为 0，原变量换为反变量，反变量换为原变量。得到的函数式就是原函数的反函数，或称为补函数。记作,例1:已知,解：由反演规则直接得出,由反演率得,2、在运算过程中适当增加括号，以保证原函数的运算顺序不变。,本例说明：,1、由反演规则求反函数，比直接用反演率求反函数方便、简单。,三个规则,例2: 已知,解：利用反演规则直接写出,注意：不属于单个变量上的反号保持不变。,（3）、对偶规则：,对偶式：已知函数为 F ，将 F 中的所有 “·” 换为“”，“” 换为 “·” ，0 换为 1 ，1 换为 0，变量保持不变。得到的函数式就是原函数的对偶式 F。,例：,首先了解什么是对偶式；,三个规则,对偶规则：,如果两个函数 F 和 G 相等，那么它们各自的对偶式 F 和 G也相等。,例：F = A(B+C),由乘对加的分配率知：,F´= A+BC,由加对乘的分配率知:,G´= (A+B)(A+C),G = AB+AC,F = A(B+C)=AB+AC, F = G, F´= G´,F´= A+BC = (A+B)(A+C),三个规则,掌握对偶规则的目的：当证明某一等式相等后，根据对偶规则，其对偶式也相等。使证明的式子数目减少一半。起到事半功倍的效果。,目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的基本定律，得出一些常用公式。,吸收律：,（互补率）,说明：两个乘积项相加时，若乘积项分别包含B和/B两个因子。而其余因子相同。则两项定能合并成一项，消去B和/B两个因子。,说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好是另一乘积项的补（/A)，则该乘积项中的/A是多余的。,吸收律：,对偶式：,对偶式：,4、若干常用公式,包含律：,推论：,对偶式：,证：,若干常用公式,A+BC = (A+B)(A+C),证：(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC,=(A+AC+AB)+BC,=A(1+C+B)+BC,