附录A习题参考答案
现代控制理论及其MATLAB 实现- 1 - 附录 A 习题参考答案A1 第 1 章习题参考答案1-1 解：串联弹簧等效刚度系数为212121111kkkkkkK以系统静平衡位置为坐标y 和 z 的原点)t(pKz)yz(fzM（E1）yk)yz(f3（E2）令zx1（E3）zx2（E4）yx3（ E5）由式（ E3）和（ E4）可得21xzx（ E6）由式（ E2）、（ E4）和（ E5）可得3323xfkxyx（E7）由式（ E4）、（ E1）和（ E7）可得)t(pMzMK)yz(Mfzx12)t (pMxMKxMk1133（E8）于是，系统状态空间模型的向量表达式为附录 A 习题参考答案- 2 - )t(pMxxxfkMkMKxxx01010001032133321x3213100 xxxxy3211001xxxxz1-2 解：由基尔霍夫定理得iuvdtdiLRi111（回路电压）（E1）dtdvcdtdvcii112221（节点电流）（ E2）dtducdtdvcio3222（节点电流）（E3）12vuvo（回路电压）（E4）22vdtdiL（回路电压）（E5）设12214321vviixxxxx由式（ E1）可得iiuLxLxLRuLvLiLRdtdix1111411111（E6）由式（ E5）可得322211xLvLdtdix（E7）由式（ E2）（E4）可得现代控制理论及其MATLAB 实现- 3 - 2323121311323121323iccccccccicccccccdtdvx23231213113231213xccccccccxccccccc（E8）2323121313231213214iccccccciccccccccdtdvx23231213132312132xcccccccxcccccccc（E9）系统状态方程的向量表达式为iuLccccccccccccccccccccccccccccccLLLR000100000100100323121332312131323121313231213xx由式（ E4）直接可得输出方程，即x11004321xxvvuo1-3 解：（1）能观测规范型u1027110351100001000010 xxx0001y能观测规范型u1365610100301050011000 xxx1000y附录 A 习题参考答案- 4 - （2）能观测规范型u1520523100010 xxuy2001x能观测规范型u025510201300 xxuy2100 x（3）仿照线性定常系统能观测规范型状态空间模型的建立方法，如下选取状态变量：yx1（E1）uxx012（E2）uxx123（E3）式中，0和1为待定时变系数。uxx021（E4）uxx132（E5）为求3x的一阶导数，从式（E1）开始，依次向下进行迭代，可得uyuxx0012（E6）uuuyuxx100123（ E7）对上式求一阶导数，可得uuuuuyx)(11000332（E8）由给定微分方程可得uuuyeyytyt)(852333（E9）从式（ E6）和（ E7）求出y和y且将其与式（E9）一并代入式（E8） ，经化简可得uuuxe)ux()uuux( txt8523130210033现代控制理论及其MATLAB 实现- 5 - uuuuu110002u)t(u)(txxxet1000321328532u)tt(1001031为使状态方程不含输入量的导数项，令50tt5828001再引入系数985312100102tttt可得utxxxext23213332（E10）系统状态方程的向量表达式为u)t()t(bxAx式中：te)t(t321000103A9855852210ttt)t(b输出方程为Cxy1x其中，001C（4）设yx1yx2yx3可得21xx附录 A 习题参考答案- 6 - 32xxuxxxxxxyuyyyyyyx)(12121312338438431xy1-4 解: （1）2754361015045152342ssssss)s(u)s(Y)s(W（a）能控规范型及约当规范型能控规范型u100010365427100001000010 xxx01545150y约当规范型u9127102713000130001300001zzz291576567521215y（b）能控规范型及约当规范型能控规范型u000110100360105400127000 xxx360105150y现代控制理论及其MATLAB 实现- 7 - 约当规范型u10013000130001300001zzz2456075245y（2）549957132016234234ssssssss)s(u)s(Y)s(W（a）能控规范型及约当规范型能控规范型u100013579954100001000010 xxx111620y约当规范型u181541541913000130000100006zzz901505486564y（b）能控规范型及约当规范型能控规范型u000113100570109900154000 xx附录 A 习题参考答案- 8 - x47483121y约当规范型u10113000130000100006zzz920325594564y1-5 解：（1）由图 1.14 可得)s(U)s(X(ssss)s(Y212345231)s(U)s(X)ssss)(s(Y212345232134523uxyyyyy)()(令yx2，yx3，yx4，)(yx35可得32xyx43xyx534xyx)(21345523uxyyyyyx)()(212345523uxxxxx)s(Y)sss()s(Us)s(X135221231123451113522xxxxuxx现代控制理论及其MATLAB 实现- 9 - 系统状态空间模型的向量表达式为21543215432110000000013125110000010000010025312uuxxxxxxxxxxxx000102xy（2）由结构图 1.15 可得)s(Ua)s(X)s(Xss)s(Y221211)s(Ua)s(X)s(Xss)s(Y22121uaxxyyy221令yx4，yx3可得34xyxuaxxxxuaxxyyyx221432213)s(Nas)s(X321nxax232)s(X)s(Uas)s(X41114111xuxaxnuaaa000100101001111000100231xx附录 A 习题参考答案- 10 - x10004xy（3）(s)N(s)ss222rs1Y(s)-+-YUs122s+继电器特性EX21XX图 A1.1 等效结构图将系统结构图1.16 等效变换为图A1.1 并如图所示在积分环节和一次项倒数环节输出端定义一个状态变量，可得)s(X)s(Y2)(1)(1sXssX)(2)(122sXssX对以上两式去分母后进行拉氏逆变换，可得xx121222xxx写成向量形式，得020021221xxxxx输出方程为2xy根据图 1.16（a），继电器特性元件的输入为e、输出为x。根据图1.16（b），x的表达式为)e()maea()ae(b)e()aema()ae(b)e()maea()e()aema()maema(x00000其中，2xue。现代控制理论及其MATLAB 实现- 11 - 1-6 解：（1）能观测规范型)k(u)k()k(1482861134241000101xx)k(u)k()k(yx001能观测规范型)k(u)k()k(638441110340124001xx)k(u)k()k(yx100（2）能观测规范型)k(u.)k()k(102141501578160961000010000101xx)k()k(yx0001能观测规范型)k(u.)k()k(505840501510078010160001960001xx)k()k(yx10001-7 解：54995713200240901023423zzzzzzz)z(u)z(Y)z(W能控规范型附录 A 习题参考答案- 12 - )k(u)k()k(1000135799541000010000101xx)k()k(yx1090240200能控规范型)k(u)k()k(0001131005701099001540001xx)k()k(yx9801904010A2 第 2 章习题参考答案2-1 解：按照矩阵指数函数条件A)t ()t (，容易验证：tttteetee)t(300000是300010011A的矩阵指数函数。ttttttttttteeeeeetetetetee)t(33300是322001012A的矩阵指数函数。2-2 解：（1）tsintcostcostsin)t(00001不满足状态转移矩阵的初值条件，故不是状态转移矩阵。（2）因I)(0，故tttttttteeeeeeee)t (22222222有可能是状态转移矩阵。现代控制理论及其MATLAB 实现- 13 - tttttttteeeeeeeedt)t (d2222424222令31200)(A因A满足A)t ()t (，故tttttttteeeeeeee)t(22222222是3120A的状态转移矩阵。（3）I)t , t(，故00000ttett)t , t(有可能是状态转移矩阵。令100100t)t , t ()t (ttA因)t(A满足)t , t ()t ()t , t (00A，故00000ttett)t , t(是1001t)t (A的状态转移矩阵。2-3 解：（1）T)(510 xtttttttteeeeeeee)t (5555555541ee)t(eteee)t (tttttt533513124852258138541xee)t(eteee)t()t(tttttt533513124852258138541xy附录 A 习题参考答案- 14 - （2）T)(225xe)ee(e)t(e)ee()ee(ete)ee(e)t (tttttt525103510251053105202253120455812445812555481xe)ee(e)t(e)ee()ee(ete)ee(e)t ()t (tttttt525103510251053105202253120455812445812555481xy2-4 解：tttteetee)t(3444000003132351152413531315291613731716915292704103232424)tsin()tcos(ee)tsin()tcos(ee)tsin()tcos(ee)t()t(ttttttx48193254337384511525292704103234)tcos()tsin(eee)t()t (ttty2-5 解：系统矩阵1001t)t(A，显然)t()()()t (AAAA，因此状态转移矩阵为.)d)(!)d)(!d)(Ie)t , t(ttttttdt)(tt32000003121AAAA.)tt()tt(ln!)tt ()tt(ln!ttttln30302020000031002100I现代控制理论及其MATLAB 实现- 15 - 00000000ttttttlnettee受控运动分量为11122211002ttttuetlntdetd)(u), t (bx自由运动分量为105211tet)(), t (xxx系统状态方程的解为107212tue)tln( t)t (xxxx系统的输出响应为)tln( t)t()t (1201xy2-6 解：因系统矩阵ttee222102A，)t()()()t(AAAA，故状态转移矩阵为)t , t()t , t()t , t (dd)()(d)()t , t(tt022021011122100110001AAAI1481212222022001100ee)tt ()ee()tt()t , t(tttt)eett
