考研数学（一）第三部分概率论与数理统计章节练习（下）

考研数学（一）第三部分概率论与数理统计章节练习（下）（江南博哥）第4节 随机变量的数字特征第五节 大数定律和中心极限定理第六节 数理统计的基本概念第七节 参数估计第八节 假设检验第四节 随机变量的数字特征1 单选题 设随机变量X服从参数为2的指数分布，则Y=2X+e-2x的期望EY=（）A.B.C.D.正确答案：A参考解析：所以2 单选题 设随机变量x，有EX=，DX=2(，为常数)，则对任意常数C，下列选项正确的是（）A.E(X-C)2=E(X2)-C2B.E(X-C)2=E(X-)2C.E(X-C)2<E(X-)2D.E(X-C)2E(X-)2正确答案：D参考解析：因为 E(X-C)2=E(X-+-C)2=E(X-)2+(-C)2，其中(-C)20，所以E(X-C)2E(X-)2，故D正确。B当且仅当=C时才成立。3 单选题 设XN(0，1)，YN(1，4)，且XY=1，则（）A.PY=2X+1=1B.PY=-2X+1=1C.PY=-2X-1)=1D.P(Y=2X-1)=1正确答案：A参考解析：由Pxy=1可得PY=aX+b=1，且a>0，排除B，C，又1=EY=E(aX+b)=aEX+b，由于EX=0，故b=1，所以A正确。4 单选题 设随机变量X与Y相关，相关系数为XY，Z=aX+b(a，b为常数)，则YZ=XY的充分必要条件为（）A.a>0B.a<0C.a0D.a=1正确答案：A参考解析：5 单选题 A.B.C.D.正确答案：A参考解析：6 单选题 设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E(x-2)2e2x=A.1B.2C.e2D.2e2正确答案：C参考解析：7 单选题 假设随机变量X与y相互独立具有非零的方差，DXDY，则A.3X+1与4Y-2相关B.X+Y与X-Y不相关C.X+Y与2Y+1相互独立D.eX与2Y+1相互独立正确答案：D参考解析：8 单选题 设X，Y为两个随机变量，若E(XY)=E(X)E(y)，则()A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X，Y独立D.X，Y不独立正确答案：B参考解析：因为E(XY)=E(X)E(Y)，所以Coy(X，Y)=0，又D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)，选(B)9 单选题 设X，Y为随机变量，若E(XY)=E(X)E(Y)，则()A.X，Y独立B.X，Y不独立C.X，Y相关D.X，Y不相关正确答案：D参考解析：因为Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，所以若E(XY)=E(X)E(Y)，则有Cov(X，Y)=0，于是X，Y不相关，选(D)10 单选题 设随机变量XU0，2，Y=X2，则X，Y()A.相关且相互独立B.不相互独立但不相关C.不相关且相互独立D.相关但不相互独立正确答案：D参考解析：11 单选题 设随机变量XU-1，1，则随机变量U=arcsinX，V=arccosX的相关系数为()A.-1B.0C.D.1正确答案：A参考解析：12 单选题 设随机变量XE(1)，记Y=maxX，1)，则EY=()A.1 B.1-e-1C.1+e-1 D.e-1正确答案：C参考解析：13 单选题 设随机变量X1，X2相互独立，且都服从标准正态分布N(0，1)，记Y=X1-X2，Z=X1X2，则Y，Z的相关系数yz=()A.-1B.0C.D.1正确答案：B参考解析：14 单选题 设随机变量(X，Y)的概率密度f(x，y)满足f(x，y)=f(-x，y)，且XY存在，则XY=()A.1 B.0 C.-1 D.-1或1正确答案：B参考解析：因为15 填空题参考解析：【解析】16 填空题设随机变量X的概率分布为PX=k=(k=0，1，2，)，则E(X2)=_.参考解析：2【解析】注意到X服从泊松分布，17 填空题设随机变量X1，X2，Xn独立同分布，且有相同的概率密度，则概率PXn>minX1，X2，Xn-1=_参考解析：【解析】18 填空题设15000件产品中有1000件次品，从中任取150件进行检测，则检测到次品数X的期望EX=_参考解析：10【解析】19 填空题设(X，Y)N(1，1，2，2；0)，U=X+2Y，V=X-2y，则UV=_参考解析：【解析】且X与Y相互独立20 填空题设随机变量xB(n，p)，且E(x)=3.2，D(X)=0.64，则PX0)=_.参考解析：0.9984【解析】XB(n，P)则E(X)=np，D(X)=np(1-p)现E(X)=3.2，D(X)=0.64则3.2(1-p)=0.64，1-p=0.2，p=0.8，E(X)=3.2=np=0.8n，n=4PX0=1-PX=0=1-(1-p)4=1-(0.2)4=0.998441 简答题设随机变量X和Y独立同分布，已知XN(，2)，求Z=min(X，Y)的数学期望E(Z).参考解析：42 简答题求Cov(X，Z).参考解析：43 简答题试证：(1)(2)参考解析：(1)(2)44 简答题游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的5分、25分、55分从底层上行，设一游客早上8点X分到达底层，且X在0，60)上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望参考解析：45 简答题设随机变量X，Y独立同分布，且XN(0，2)，再设U=aX+bY，V=aX-by，其中a，b为不相等的常数求：(1)E(U)，E(V)，D(U)，D(V)，uv；(2)设U，V不相关，求常数a，b之间的关系参考解析：(1)(2)46 简答题设由自动生产线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(，1)，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格产品销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系：问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大?参考解析：47 简答题(1)求E(X)，D(X)；(2)求Cov(X，|X|)，问X，|X|是否不相关?(3)问X，|X|是否相互独立?参考解析：(1)(2)(3)48 简答题电信公司将n个人的电话资费单寄给n个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量X表示收到自己电话资费单的人的个数，求E(X)及D(X)参考解析：令Ai=第i个人收到自己的电话资费单，i=1，2，n，49 简答题设随机变量X与Y相互独立，都服从均匀分布U(0，1)求Z=|X-Y|的概率密度及参考解析：U=X-Y的概率密度为50 简答题设点(X，Y)在以(0，0)，(1，0)，(0，1)为顶点的三角形内服从均匀分布，求X与Y的相关系数参考解析：如图所示，由于该三角形的面积为0.5，故（X，Y）的概率密51 简答题已知某种股票现行市场价格为100元股，设该股票每年的收益率等可能地呈现20和-10两种状态，求三年后该股票价格的期望值参考解析：52 简答题袋中有n张卡片，分别记有号码1，2，n，从中有放回地抽取k次，每次抽取1张，以X表示所得号码之和，求EX，DX参考解析：53 简答题(1)叙述切比雪夫不等式，并在连续型情形下给出证明；(2)某地区有10000个电灯，每个电灯每晚开灯的概率均为07，设灯的开关是相互独立的，用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的电灯数为69007100盏的概率下限参考解析：(1)切比雪夫不等式如下：(2)令X表示“夜晚同时开着的电灯数”，则X服从n=10000，p=0.7的二项分布，则EX=np=7000，DX=np(1-p)=2100，由切比雪夫不等式可得如下估计：第五节 大数定律和中心极限定理1 单选题 设随机变量X1，X2，Xn相互独立，记Yn=X1+X2+Xn根据列维林德伯格中心极限定理，Yn近似服从正态分布(n充分大)，则只要X1，X2，Xn（）A.服从同一离散型分布B.服从同一连续型分布C.服从同一指数分布D.具有相同的期望与方差正确答案：C参考解析：列维一林德伯格中心极限定理的条件是X1，X2，Xn独立同分布，且期望与方差均存在 满足选项A，B的随机变量的期望或方差不一定存在，故排除A，B 对于D，有相同的期望与方差未必有相同的分布，故排除D 只有C正确，指数分布的期望与方差均存在2 单选题 设随机变量X服从指数分布E(1)，用切比雪夫不等式得到估计PX3a，则aA.1/2B.1/4C.1/8D.e-3正确答案：B参考解析：显然，E(X)=1，D(X)=1PX3=PX-12=P|X-1|>2-PX-1-2                           =P|X-1|2+0=P|X-EX|2DX/4=1/43 单选题 设Xn表示将一硬币随意投掷n次“正面”出现的次数，则A.B.C.D.正确答案：C参考解析：4 单选题 设X1，X2，Xn，相互独立，则X1，X2，Xn，满足辛钦大数定律的条件是()A.X1，X2，Xn，同分布且有相同的数学期望与方差B.X1，X2，Xn，同分布且有相同的数学期望C.X1，X2，Xn，为同分布的离散型随机变量D.X1，X2，Xn，为同分布的连续型随机变量正确答案：B参考解析：根据辛钦大数定律的条件，应选(B)5 单选题 则下列结论不正确的是()A.B.C.D.正确答案：D参考解析：6 填空题设随机变量Xi服从二项分布B(i，02)，i=1，2，10，且X1，X2，X10相互独立，则根据切比雪夫不等式，有 参考解析：0.648【解析】7 填空题参考解析：【解析】8 填空题参考解析：9 填空题(1)将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为X，用切比