2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析（江南博哥）1 单选题 A.连续且取得极大值B.连续且取得极小值C.可导且导数为零D.可导且导数不为零正确答案：D参考解析：因为函数f(x)在x=0处可导且导数不为零2 单选题 设函数f(x，y)可微，且f(x+1，ex)=x(x+1)2，f(x，x2)=2x2lnx，则df(1，1)=()A.dx+dyB.dx-dyC.dyD.-dy正确答案：C参考解析：将f(x+1，ex)=x(x+1)2两边对x求导得3 单选题 设函数处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3，则()A.a=1，b=0，c=-B.a=1，b=0，c=C.a=-1，b=-1，c=-D.a=-1，b=-1，c=正确答案：A参考解析：4 单选题 设函数f(x)在区间0，1上连续，则()A.B.C.D.正确答案：B参考解析：由定积分定义得，这里将区间0，1分为n等份，即5 单选题 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为()A.2，0B.1，1C.2，1D.1，2正确答案：B参考解析：则A的特征值为-1，0，3，所以正惯性指数与负惯性指数依次为1，16 单选题 2，3两两相交，则l1，l2依次为()A.B.C.D.正确答案：A参考解析：由施密特正交化得7 单选题 设A，B为n阶实矩阵，下列结论不成立的是()A.B.C.D.正确答案：C参考解析：因为=r(A，BA)+r(AAT)=r(A，BA)+r(A)，且r(A，BA)r(A)，所以8 单选题 设A，B为随机事件，且0<P(B)<1，则下列命题中为假命题的是()A.若P(A|B)=P(A)，则P(A|)=P(A)B.若P(A|B)>P(A)，则P(|)>P()C.若P(A|B)>P(A|)，则P(A|B)>P(A)D.若P(A|AB)>P(|AB)，则P(A)>P(B)正确答案：D参考解析：P(A|B)=P(A)A，B相互独立，所以P(A|)=P(A)，故A项正确；P(A|B)>P(A)中对任意满足题设条件的随机事件均成立，而，也满足条件，所以P(|)>P()，故B项正确；9 单选题 设(X1，Y1)，(X2，Y2)，(Xn，Yn)为来自总体的简单随机样本，令=，则()A.B.C.D.正确答案：C参考解析：10 单选题 设X1，X2，X16是来自总体N(，4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：H0：10，H1：>10(x)表示标准正态分布函数若该检验问题的拒绝域为，其中，则=11.5时，该检验犯第二类错误的概率为()A.1-(05)B.1-(1)C.1-(15)D.1-(2)正确答案：B参考解析：11 填空题参考解析：【解析】12 填空题参考解析：【解析】13 填空题欧拉方程x2y”+xy-4y=0满足条件y(1)=1，y(1)=2的解为_参考解析：y=x2 【解析】作变换x=et，则y'(t)=y(x)et=xy'(x)，y”(f)=x(t)y(x)+xy”(x)x(t)=xy'(x)+x2y”(x)=y(t)+x2y”(x)，则原方程可转化为y”(t)-y(t)+y(t)-4y(t)=0，即y”(t)-4y(t)=0，其特征方程为24=0，特征根为1=2，2=-2，则该方程的通解为，又y(1)=1，y(1)=2，故C1=1，C2=0，所以y=x214 填空题设三为空间区域(x，y，z)|x2+4y24，0z2表面的外侧，则曲面积分y2dzdx+zdxdy=_参考解析：4 【解析】由高斯公式得，其中为围成的封闭区域由于图形关于xOz平面对称，所以同理，由于图形关于yOz平面对称，所以15 填空题设A=(aij)为三阶矩阵，Aij为元素aij的代数余子式若A的每行元素之和均为2，且|A|=3，则A11+A21+A31=_参考解析：【解析】因为A的每行元素之和均为2，所以，故A*的每行元素之和均为16 填空题甲、乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球令X，Y分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数为_参考解析：由题意可知，X与Y的联合概率分布与边缘概率分布如下表所示所以E(XY)=03，E(X)=E(Y)=05，D(X)=D(Y)=025，17 简答题参考解析：18 简答题参考解析：19 简答题已知曲线求C上的点到xOy坐标平面距离的最大值参考解析：设c上的点(x，y，z)到xOy坐标平面的距离为d，则d=|z|根据题意，目标函数为f(x,y，z)=z2，约束条件是x2+2y2-z-6=0及4x+2y+z-30=0构造拉格朗日函数F(x，y，z，)=z2+(x2+2y2-z-6)+(4x+2y+z-30)，则20 简答题设DR2是有界单连通闭区域，取得最大值的积分区域记为D1()求I(D1)的值；()其中D1是D1的正向边界参考解析：()要使取得最大值，则D应该包含所有使得被积函数f(x，y)=4-x2-y20并且D中不能包含使得f(x，y)=4-x2-y2<0的区域，故D1=(x，y)x2+y24，又Q(x，y)，P(x，y)在D1围成的区域D1上有奇点，所以要补充曲线L：x2+4y2=2，>0足够小，取顺时针方向，且L围成的区域为D”，则Q(x，y)，P(x，y)在D1与L围成的区域D上满足格林公式的条件，21 简答题()求正交矩阵P，使PTAP为对角矩阵；()求正定矩阵C，使C2=(a+3)E-A，其中E为三阶单位矩阵参考解析：(I)所以A的特征值为1=2=a-1，3=a+2当1=2=a-1时，|A-(a-1)E|x=0，22 简答题(本题满分12分)在区间(0，2)上随机取一点，将该区间分成两段，其中较短一段的长度记为X，较长一段的长度记为Y，()求X的概率密度；()求Z的概率密度；()求E()参考解析：()由题意知，X+Y=2，0<X<Y，且XU(0，1)，