考研数学（一）第二部分线性代数章节练习（上）

考研数学（一）第二部分线性代数章节练习（上）（江南博哥）第一节 行列式第二节 矩阵第三节 向量第一节 行列式1 单选题 A.-28B.28C.14D.-14正确答案：A参考解析：故原式=-282 单选题 A.4B.-4C.1D.-1正确答案：B参考解析：3 单选题 A.0.B.1.C.abcd.D.a2b2c2d2.正确答案：A参考解析：用倍加性质化简行列式，把第1列的-1倍分别加至其他各列，然后把第2列的-2，-3倍分别加到第3列和第4列，有4 单选题 下列命题中，不正确的是A.如A是n阶矩阵，则(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E).B.如A是n阶矩阵，且A2=A，则A+E必可逆.C.如A，B均为n×1矩阵，则ATB=BTA.D.如A，B均为卵阶矩阵，且AB=O，则(A+B)2=A2+B2.正确答案：D参考解析：(A)注意乘法有分配律，(A+E)(A-E)与(A-E)(A+E)均为A2-E，故(A)5 单选题 三阶矩阵A可逆，把矩阵A的第2行与第3行互换得到矩阵B，把矩阵B的第1列的-3倍加到第2列得到单位矩阵E，则A*=A.B.C.D.正确答案：B参考解析：6 单选题 设A，B为两个n阶矩阵，下列结论正确的是()A.|A+B|=|A|+|B|B.若|AB|=0，则A=O或B=OC.|A-B|=|A|-|B|D.|AB|=|A|B|正确答案：D参考解析：所以|AB|=0，(B)不对，选(D)7 单选题 A.1B.-2C.3D.4正确答案：B参考解析：以行列式形式表示的多项式f(x)是一种特殊结构的函数形式，围绕f(x)所展开的问题有多种题型，如对多项式中特定项的选取f(x)的常数项，即f(0)，也即将行列式中x用0置换后行列式的值，具体可用降阶法计算，即8 单选题 D1，则()A.k，m均为奇数B.k，m均为偶数C.k为奇数，m为偶数D.k为偶数，m为奇数正确答案：A参考解析：9 填空题参考解析：a+1或a-2【解析】10 填空题参考解析：【解析】11 填空题设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，当m>n时，|AB|=_参考解析：0【解析】12 填空题设A是3阶方阵，1，2，3线性无关，且A1=1+2，A2=2+3，A3=3+1，则|A|=_参考解析：2【解析】解法 113 填空题参考解析：-15【解析】行列式结构上没有特殊规律，消元就用展开公式，14 填空题设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，|A|的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a-2，a-1，则a=_参考解析：由(a+1)+2(a-2)+3(a-1)=0得a=115 填空题参考解析：16 填空题参考解析：17 填空题参考解析：18 填空题参考解析：16【解析】19 填空题参考解析：4！【解析】根据行列式中一般项由不同行不同列元素构成的规则，T的4次以及4次以上幂次的项只与对角线元素相关，即a11a22a33a44=x2(x+1)(x-1)=x4-x2，从而得f(4)(x)=4!20 简答题参考解析：Dn的各列元素之和相等，用行加法21 简答题参考解析： Dn为三对角行列式，用递推法，将Dn按第1行展开22 简答题参考解析：23 简答题计算n阶行列式参考解析：方法一   将其余各列加至第一列，提取公因子之后再将第i列减去第一列的ai(i=2，n)倍，从而化为三角形行列式定值，有24 简答题参考解析：25 简答题设A是n阶矩阵，满足AAT=E(E是n阶单位矩阵，AT是A的转置矩阵)，且|A|<0，求|A+E|参考解析：第二节 矩阵1 单选题 为（）A.n=m=4B.n=5，m=4C.n=4，m=5D.n=m=5正确答案：A参考解析：P是初等矩阵，P左乘A，相当于把A的第1，3行交换，故交换偶数次，相当于不变，右乘A相当于把A的第1，3列交换，同理交换偶数次，相当于不变，故A正确2 单选题 设A是任意n(n3)阶矩阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k0，则必有(kA)*=A.nA*.B.kn-1A*.C.knA*.D.正确答案：B参考解析：作为选择题，可加强条件来分析因为对任何n阶矩阵都要成立，那么对于特殊的n阶矩阵自然也要成立，故可对可逆矩阵A来分析推理3 单选题 A.a=1是r(B)=1的必要条件.B.a=1是r(B)=1的充分必要条件.C.a=3是r(B)=1的充分条件.D.a=3是r(B)=1的充分必要条件.正确答案：C参考解析：4 单选题 设A是n阶实对称矩阵，将A的i列和j列对换得到B，再将B的i行和j行对换得到C，则A与CA.等价但不相似.B.合同但不相似.C.相似但不合同.D.等价、合同且相似.正确答案：D参考解析：5 单选题 设1，2，3，1，2均为四维列向量，|1，2，3，1|=a，|1，2，2，3|=b，则|3，2，1，1+22|=A.2a-bB.2a+bC.2b-aD.2b+a正确答案：C参考解析：|a3，a2，a1，1+22|=|a3，a2，a1，1|+|a3，a2，a1，22|                                  =-|a1，a2，a3，1|+2|a3，a2，a1，2|                                  =-a-2|a3，a2，2，a1|                                  =-a+2b6 单选题 已知A，B均是n阶可逆矩阵，则错误的是A.B.C.D.正确答案：D参考解析：(A)(B)(C)是基本公式关于(D)7 单选题 设A为四阶非零矩阵，且r(A*)=1，则()A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=4正确答案：C参考解析：因为r(A*)=1，所以r(A)=4-1=3，选(C)8 单选题 A.B.C.D.正确答案：D参考解析：9 单选题 A.B=P1AP2B.B=P2AP1C.B=AP1D.B=A正确答案：D参考解析：10 单选题 设A，B，A+B，A-1+B-1皆为可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1等于()A.A+BB.A-1+B-1C.A(A+B)-1BD.(A+B)-1正确答案：C参考解析：A(A+B)-1B(A-1+B-1)=(A+B)A-1-1(BA-1+E)=(BA-1+E)-1(BA-1+E)=E，所以C正确。11 单选题 设A，B都是n阶可逆矩阵，则()A.(A+B)*=A*+B*B.(AB)*=B*A*C.(A-B)*=A*-B*D.(A+B)*一定可逆正确答案：B参考解析：因为(AB)*=|AB|(AB)-1=|A|B|B-1A-1=|B|B-1·|A|A-1=B*A*，B正确。12 单选题 设A是m×n矩阵，且m>n，下列命题正确的是()A.A的行向量组一定线性无关B.非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多组解C.ATA一定可逆D.ATA可逆的充分必要条件是r(A)=n正确答案：D参考解析：若ATA可逆，则r(ATA)=n，因为r(ATA)=r(A)，所以r(A)=n，反之，若r(A)=n，因为r(ATA)=r(A)，所以ATA可逆，D正确。13 单选题 设A是n阶矩阵，则下列说法错误的是()A.对任意的n维列向量，有A=O，则A=OB.对任意的n维列向量，有TA=O，则A=OC.对任意的n阶矩阵B，有AB=O，则A=OD.对任意的n阶矩阵B，有BTAB=O，则A=O正确答案：B参考解析：当A是反对称矩阵且A不等于0，即AT=-A0时，则对任意的n维列向量，因TA是数，故有TA=(TA)T=TAT=-TA，得2TA=0，即TA=0，但是A0，选B。14 单选题 设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中：若A可逆，则B可逆；若A+B可逆，则B可逆；若B可逆，则A+B可逆；A-E恒可逆正确的个数为()A.1B.2C.3D.4正确答案：D参考解析：由(A-E)B=A，可知当A可逆时，|A-E|B|0，故|B|0，因此B可逆，可知是正确的。当A+B可逆时，|AB|=|A|B|0，故|B|0，因此B可逆，可知是正确的，当B可逆时，A可逆，故|AB|=|A|B|0，因此AB可逆，故A+B也可逆，可知是正确的，最后由AB=A+B可知(A-B)B-A=0，也即(A-E)B-(A-E)=E，进一步有(A-E)(B-E)=E，故A-E恒可逆，可知也是正确的。所以选D15 单选题 A.|A|D|B.-|B|C|C.1D.0正确答案：D参考解析：16 单选题 a=()A.B.7C.D.13正确答案：C参考解析：17 单选题 已知r(A)=r1，且方程组Ax=有解，r(B)=r2，且y=无解，设A=1，2，n，B=1，2，n，且r(1，2，n，1，2，n，)=r，则()A.r=r1+r2B.r>r1+r2C.r=r1+r2+1D.rr1+r2+1正确答案：D参考解析：由题设有r(1，2，n，)=r1，r(1，2，n，)=r2+1，故r(1，2，n，1，2，n，)r1+r2+1。18 单选题 A.1，3，3T B.-1，3，3T C.-1，-3，3T D.-1，3，-3T正确答案：A参考解析：19 填空题参考解析：2【解析】利用初等行变换化A为阶梯形，故r(A)=220 填空题若An=E，n为正整数，则(A*)n=_参考解析：E【解析】由An=E，知|A|n=141 简答题设n阶矩阵A和B满足条件AB=A+B.(1)证明A-E可逆.(2)求秩r(AB-BA+2E).(3)参考解析：(1)由A