考研数学（三）第一部分微积分章节练习（下）

考研数学（三）第一部分微积分章节练习（下）（江南博哥）第五节 二重积分第六节 无穷级数第七节 常微分方程与差分方程第五节 二重积分1单选题I=()A.B.C.D.正确答案：C参考解析：由r=2sin，得r2=2rsin，即x2+y2=2y，积分区域D如图所示，所以C正确2单选题A.B.C.D.正确答案：B参考解析：3单选题A.6B.8C.10D.12正确答案：B参考解析：4单选题在曲线y=(x-1)2上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x轴及该曲线所围成的区域为D(y>0)，则区域D绕x轴旋转一周所成的几何体的体积为()A.B.C.D.正确答案：D参考解析：【解】5单选题A.B.C.D.正确答案：A参考解析：6填空题参考解析：【解析】由于e-y2的原函数不能用初等函数表达，故交换积分顺序才能计算原积分区域D如图75所示，7填空题参考解析：【解析】由已知，作出积分区域D，交换积分顺序，如图76所示，8填空题参考解析：【解析】9填空题参考解析：【解析】积分区域D如图所示，交换极坐标顺序，则10填空题参考解析：【解】11填空题参考解析：【解】设区域D位于第一象限的部分为D1，12简答题参考解析：13简答题参考解析：解用直线y=x将D划分为D1与D2，如图所示，故14简答题参考解析：解直接计算极坐标下的二次积分较烦琐，将其化为直角坐标下的二次积分15简答题设f(x，y)在区域：0x1，0y1上连续，f(0，0)=0，且f(x，y)在点(0，0)参考解析：解16简答题设f(x)在0，1上是连续正值函数，且f(x)单调减少，D：0x1，0y1，证明：参考解析：证积分区域D如图所示，D关于直线y=x对称，由轮换对称性，得17简答题参考解析：【解】18简答题参考解析：【解】19简答题参考解析：【解】第六节 无穷级数1单选题A.不存在B.等于-1C.等于1D.等于0正确答案：B参考解析：2单选题下列结论正确的是()A.B.C.D.正确答案：D参考解析：3单选题A.B.C.D.正确答案：A参考解析：4单选题A.B.C.D.正确答案：B参考解析：5单选题A.级数(1)与级数(2)都是收敛的B.级数(1)与级数(2)都是发散的C.级数(1)发散，级数(2)收敛D.级数(1)收敛，级数(2)发散正确答案：A参考解析：(1)6单选题A.B.C.D.正确答案：B参考解析：方法1  按定义求数值级数的和S就是求它的部分和的极限7单选题A.ln(1-x)+ln(1-x)+1(-1x<1，x0)B.ln(1+x)+ln(1-x)+1(-1<x<1，x0)C.-ln(1-x)+ln(1-x)+1(-1x<1，x0)D.-ln(1-x)+ln(1+x)+1(-1<x<1，x0)正确答案：C参考解析：8单选题A.0B.-1C.1D.2正确答案：B参考解析：9单选题A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.敛散性与k有关正确答案：C参考解析：【解】10填空题参考解析：(-2，2)【解析】11填空题参考解析：【解析】12填空题参考解析：(-，+)【解析】13填空题参考解析：0【解析】由级数和的定义，14填空题在级数中，发散级数的序号是_参考解析：【解析】要分别考察每个级数的敛散性15填空题参考解析：【解析】16填空题参考解析：4；-4，4)【解析】17填空题参考解析：【解】18填空题参考解析：【解】19填空题参考解析：【解】20简答题求下列幂级数的和函数：(1)(2)(3)(4)参考解析：(1)(2)(3)(4)21简答题参考解析：22简答题参考解析：(1)(2)23简答题参考解析：解先用公式求收敛半径24简答题设f(x)在a，b上可导，且满足af(x)b，|(x)|k<1，u0a，b，un=f(un-1)(u=1，2，)，证明：()()参考解析：证()()25简答题参考解析：解26简答题参考解析：解27简答题参考解析：证28简答题参考解析：【解】29简答题参考解析：【解】30简答题参考解析：【解】31简答题参考解析：【解】32简答题(1)(2)参考解析：(1)【证明】(2)【解】方法一33简答题(1)(2)参考解析：(1)【解】(2)【证明】第七节 常微分方程与差分方程1单选题设f(x)0，y1(x)是y'+p(x)y=f(x)的一个解，y2(x)0是对应的齐次方程的一个解，C是任意常数，则y'+p(x)y=f(x)的通解为A.Cy1(x)+y2(x)B.Cy1(x)-y2(x)C.y1(x)-Cy2(x)D.y1(x)+y2(x)+C正确答案：C参考解析：由y'+p(x)y=f(x)的通解结构为齐次方程通解加上非齐次方程特解，可知其通解为y1(x)+C1y2(x)，令C1=-C，C正确。2单选题如果二阶常系数非齐次线性微分方程y''+ay'+by=e-xcosx有一个特解y*=e-x(xcosx+xsinx)，则A.a=-1，b=1B.a=1，b=-1C.a=2，b=1D.a=2，b=2正确答案：D参考解析：由题意知-1+i为特征方程2+a+b=0的根，所以(i-1)2+a(i-1)+b=0，实部和虚部对应相等得到a=2，b=2，D正确。3单选题设C为任意常数，则以y=eCx+x2为通解的一阶微分方程为()A.x-ylny=x2yB.x+ylny=xy2C.x-ylny2=xyD.x+ylny=xy正确答案：A参考解析：4单选题设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程+P(x)y=Q(x)的两个解，若常数，使得y1+y2是该方程的解，y1-y2是对应的齐次微分方程的解，则()A.B.C.D.正确答案：B参考解析：5单选题设L是连接两点A(0，1)与B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)是L上的任意一点已知凸弧L与弦AP围成的平面图形的面积等于x4，则L的方程是A.1-3x+4x3B.1-4x+3x3C.1+3x-4x3D.1+4x-3x3正确答案：C参考解析：6单选题A.B.C.-D.-正确答案：A参考解析：7单选题A.B.C.D.正确答案：B参考解析：8单选题微分方程y”-4y=e2x+x的特解形式为()A.ae2x+bx+c B.ax2e2x+bx+cC.axe2x+bx2+cx D.axe2x+bx+c正确答案：D参考解析：y"-4y=0的特征方程为2-4=0，特征值为1=-2，2=2y"-4y=e2x的特特解形式为y1=axe2x，y"-4y=x的特解形式为y2=bx+c，故原方程特戒形式为axe2x+bx+c，D正确。9单选题设1(x)，2(x)为一阶非齐次线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为（）A.C1(x)+2(x)B.C1(x)-2(x)C.C1(x)-2(x)+2(x)D.1(x)-2(x)+C2(x)正确答案：C参考解析：因为1(x)，2(x)为方程y'+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以1(x)-2(x)为方程y'+P(x)y=0的一个解，于是方程y'+P(x)y=Q(x)的通解为C1(x)-2(x)+2(x)，C正确。10单选题二阶常系数非齐次线性微分方程y''-2y'-3y=(2x+1)e-x的特解形式为（）A.(ax+b)e-xB.x2e-xC.x2(ax+b)e-xD.x(ax+b)e-x正确答案：D参考解析：方程y''-2y'-2y=(2x+1)e-x的特征方程为2-2-3=0，特征值为1=-1，2=3，故方程y''-2y'-3y=(2x+1)e-x的特解形式为x(ax+b)e-x，D正确。11填空题已知函数y=f(x)由方程ey+6xy+x2=1所确定，则f"(0)=_参考解析：-2【解析】由ey+6xy+x2=1知，当x=0时，y=0，方程ey+6xy+x2=1两端对x求导得eyy'+6y+6xy'+2x=0    将x=0，y=0带入解得y'(0)=0的两端对x再求导。eyy'2+eyy"+12y'+6xy"+2=0，将x=0，y=0，y'(0)代入上式解得y"(0)=-2，故f"(0)=-212填空题差分方程2yt+1-6yt=5·3t的通解为_参考解析：C3t+5t·3t/6【解析】原方程可化为yt+1-3yt=5·3t/2，由此可得a=-3，d=3，a+d=0则非齐次方程的特解可设为yt*=A·t·3t代入原方程得A=5/6，则原方程得通解为yt=C·3t+5·t·3t/613填空题xy'=y(lny-lnx)的通解为_参考解析：【解析】14填空题参考解析：【解析】15填空题设二阶线性非齐次微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)有三个特解为x，ex，e-x，则该方程的通解为参考解析：y=C1(ex-x)+C2(e-x