2021-2022学年湖南省长沙市中建五局中学高二数学文联考试题含解析
2021-2022学年湖南省长沙市中建五局中学高二数学文联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的最小值为（ ）A B C D 参考答案：A2. 用反证法证明命题“如果”时，假设的内容应是 （ ）A B C D 参考答案：C略3. 利用反证法证明：“若x2+y2=0，则x=y=0”时，假设为（ ） A、x，y都不为0 B、xy且x，y都不为0C、xy且x，y不都为0 D、x，y不都为0参考答案：D【考点】反证法与放缩法 【解析】【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立， 而要证命题的否定为“x，y不都为0”，故选D【分析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得答案 4. 已知两点、，直线过点且与线段的延长线相交，则直线的斜率的取值范围是： A.或 B. C. D.参考答案：B5. 等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,;则的实轴长为 （ ）A B C D参考答案：C略6. 设f (x)= x26x+5，若实数x，y满足条件f (y) f (x) 0，则的最大值为（ ）A5 B3 C1 D94参考答案：A略7. 函数的定义域是（ ）A. 3,4)B.(,3C. 3,+)D. (,4参考答案：A【分析】由偶次根号下的被开方数大于等于零、对数真数大于零，列出不等式组，进行求解即可。【详解】要使函数有意义，则 ，解得：；故答案选A【点睛】本题考查函数定义域的求法，根据函数解析式列出使它有意义的不等式组，解出不等式组即可得到答案，属于基础题。8. 如图，在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）参考答案：B9. 若直线l1：（t为参数）与直线l2：（s为参数）垂直，则k的值是（）A1B1C2D2参考答案：B【考点】QH：参数方程化成普通方程【分析】将直线l1与直线l2化为一般直线方程，然后再根据垂直关系求解即可【解答】解：直线l1：（t为参数）y2=（x1），直线l2：（s为参数）2x+y=1，两直线垂直，×（2）=1，得k=1，故选：B10. 抛物线的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人就坐，并且这2人不相邻（一前一后也视为不相邻），那么不同坐法的种数是 .参考答案：5812. 若命题“存在实数x，使x2+ax+10”的否定是假命题，则实数a的取值范围为参考答案：a2或a2【考点】命题的真假判断与应用【分析】特称命题的否定是假命题，即原命题为真命题，得到判别式大于0，解不等式即可【解答】解：命命题“存在实数x，使x2+ax+10”的否定是假命题，原命题为真命题，即“存在实数x，使x2+ax+10”为真命题，=a240a2或a2故答案为：a2或a213. 已知函数是R上的减函数，则的取值范围是_.参考答案：14. 二维空间中圆的一维测度（周长）l=2r，二维测度（面积）S=r2；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4r2，三维测度（体积）V=r3；四维空间中“超球”的三维测度V=8r3，则猜想其四维测度W=参考答案：2r4【考点】F3：类比推理【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W=V，从而求出所求【解答】解：二维空间中圆的一维测度（周长）l=2r，二维测度（面积）S=r2，观察发现S=l三维空间中球的二维测度（表面积）S=4r2，三维测度（体积）V=r3，观察发现V=S四维空间中“超球”的三维测度V=8r3，猜想其四维测度W，则W=V=8r3；W=2r4；故答案为：2r415. 从双曲线的左焦点F1处发出的光线，经过该双曲线左支上一点反射后，反射光线所在直线方程为 参考答案：16. 若不等式ax2+bx+2>0的解集为x|-,则a+b=_.参考答案：-1417. 设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为棱BC，DC上的动点，且BE=CF（1）求证：B1FD1E；（2）当三棱锥C1FCE的体积取到最大值时，求二面角C1FEC的正切值参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】计算题【分析】（1）因为是正方体，又是空间垂直问题，所以易采用向量法，所以建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，欲证B1FD1E，只须证再用向量数量积公式求解即可（2）由题意可得：当三棱锥C1FCE的体积取到最大值时，即其底面积FEC最大，可得点E、F分别是BC、CD的中点时取最大值，再根据线面关系得到C1OC为二面角C1FEC的平面角，进而利用解三角形的有关知识求出答案即可【解答】解：（1）如图，以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设BE=CF=b，则D1（0，0，a），E（ab，a，0），F（0，ab，0），B1（a，a，a），所以，所以，所以B1FD1E（2）由题意可得：当三棱锥C1FCE的体积取到最大值时，即其底面积FEC最大，即SFEC=b（ab）最大，由二次函数的性质可得：当b=时，其底面积取最大值，即点E、F分别是BC、CD的中点，所以C1F=C1E，CE=CF取EF的中点为O，连接C1O，CO，所以C1OEF，COEF，所以C1OC为二面角C1FEC的平面角在C1OC中，C1C=a，CO=，所以tanC1OC=2所以二面角C1FEC的正切值为2【点评】本题主要考查向量证明线线的垂直关系，以及考查几何体的体积与二面角的平面角等问题，也可以利用向量的方法解决二面角的问题，次方法比较方便灵活，是常考类型，属中档题19. (本题满分为16分)已知函数f(x)=alnx2x (a为常数)。、当a=1时，求函数f(x)的单调区间；、若函数f(x)在区间(1，)上单调递减，求实数a的取值范围；、若函数g(x)=f(x)x21有极值点，求实数a的取值范围。参考答案：解：（1）f(x)的定义域为，当a=1时，由 得 ， 由,得的单调增区间为 ，单调减区间为 -4分（2）f(x)的定义域为，即函数在上为单调减函数， -9分(3) 由题意：， 若函数有极值点，有两解且在至少有一解， -11分由得- -13分由在至少有一解，得在至少有一解设，则有两图象至少有一个交点，解得- -15分由得，综上：当时函数有极值点 -16分略20. 已知数列an的前n项的和，bn是等差数列，且.（）求数列bn的通项公式；（）令.求数列cn的前n项和Tn.参考答案：（）（）【分析】（）先求出，再由得到通项公式，求出，再由，进而可得出结果；（）由（）得到，再由错位相减法，即可求出结果.【详解】（），时，也符合此式，所以.又，可得，所以 （），所以，所以，错位相减得，所以【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，以及数列的求和，熟记等差数列的通项公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.21. 椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点F与点 的距离为2。(1)求椭圆的方程；(2)斜率的直线与椭圆相交于不同的两点M,N满足,求直线l的方程。 参考答案：解：（1）依题意，设椭圆方程为，则其右焦点坐标为，由，得，即，解得。 又 ， ，即椭圆方程为。 (4分)（2）方法一:由知点在线段的垂直平分线上，由消去得即 （*） ( 5分)由,得方程(*)的,即方程(*)有两个不相等的实数根。 (6分)设、，线段MN的中点，则， ，即 ，直线的斜率为， (9分)由，得， ，解得：， (11分) l的方程为或。 ( 12分)方法二:直线l恒过点(0,-2), 且点(0,-2)在椭圆上, 不妨设M(0,-2), 则|AM|=4 (6分)|AN|=4, 故N在以A为圆心, 4为半径的圆上,即在的图像上. 联立 化简得 ,解得 (8分)当y=-2时,N和M重合,舍去. 当y=0时, 因此 (11分) l的方程为或。 ( 12分) 略22. （本小题满分12分）双曲线的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A，B. (1)求双曲线的方程;(2)若是双曲线虚轴在轴正半轴上的端点,过作直线与双曲线交于两点,求时,直线的方程.参考答案：（1）由设直线AB的方程为（2）显然直线MN的斜率存在，设为K设直线MN的方程为所以，直线MN的方程为或-
