（整理版）专题17：动态几何之面积问题探讨

【中考攻略】专题17：动态几何之面积问题探讨动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和图形存在问题等。前面我们已经对最值问题进行了探讨，本专题对面积问题行探讨。结合和全国各地中考的实例，我们从四方面进行动态几何之面积问题的探讨：1静态面积问题；2点动形成的动态面积问题；3线动形成的动态面积问题；4面动形成的动态面积问题。一、静态面积问题：典型例题：例1：山西省2分如图是某公园的一角，AOB=90，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CDOB，那么图中休闲区阴影局部的面积是【 】A米2B米2C米2D米2【答案】 C。【考点】扇形面积的计算，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】连接OD，那么。 弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，OC=OA=6=3。AOB=90，CDOB，CDOA。在RtOCD中，OD=6，OC=3，。又，DOC=60。米2。应选C。例2：湖北恩施3分如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，A=120，那么图中阴影局部的面积是【 】A B2 C3 D例3：湖北随州4分如图，直线l与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点,假设AB：BC=(m一l)：1(m>l)那么OAB的面积(用m表示)为【 】 A. B. C. D. 【答案】B。【考点】反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程式关系，相似三角形的判定和性质，代数式化简。【分析】如图，过点A作ADOC于点D，过点B作BEOC于点E, 设A(A，A)，B (B，B)，Cc0。 AB：BC=(m一l)：1(m>l)，AC：BC=m：1。 又ADCBEC，AD：BE=DC：EC= AC：BC=m：1。 又AD=A，BE=B，DC= cA，EC= cB， A：B= m：1，即A= mB。 直线l与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点， ，。 ，。将 又由AC：BC=m：1得cA：cB=m：1，即 ，解得。 。 应选B。例4：贵州贵阳12分如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两局部，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线1三角形有 条面积等分线，平行四边形有 条面积等分线；2如图所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；3如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，ABCD，且SABCSACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由【答案】解：16；无数。 2这个图形的一条面积等分线如图：连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的局部即OO为这个图形的一条面积等分线。3四边形ABCD的面积等分线如下图：理由如下：过点B作BEAC交DC的延长线于点E，连接AE。BEAC，ABC和AEC的公共边AC上的高也相等， SABC=SAEC。SACDSABC，面积等分线必与CD相交，取DE中点F，那么直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线。【考点】面积及等积变换，平行线之间的距离，三角形的面积，平行四边形的性质，矩形的性质。【分析】1读懂面积等分线的定义，不难得出：三角形的面积等分线是三角形的中线所在的直线；过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的局部；从而三角形有3条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线。2由1知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；3过点B作BEAC交DC的延长线于点E，连接AE根据ABC和AEC的公共边AC上的高也相等推知SABC=SAEC；由“割补法可以求得。例5：贵州毕节3分如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作。假设AEF的边长为2，那么阴影局部的面积约是【 】参考数据：，取3.14A. 0.64 B. 1.64 C【答案】A。【考点】正方形和等边三角形的性质，勾股定理，扇形和三角形面积。【分析】由图知，。因此，由，根据正方形、等边三角形的性质和勾股定理，可得等边AEF的边长为2，高为；RtAEF的两直角边长为；扇形AEF的半径为2圆心角为600。 。应选A。例6：山东德州3分如图，两个反比例函数和的图象分别是l1和l2设点P在l1上，PCx轴，垂足为C，交l2于点A，PDy轴，垂足为D，交l2于点B，那么三角形PAB的面积为【 】A3 B4 C D5【答案】C。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积。例7：内蒙古赤峰3分如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，以点C为圆心，CD为半径的弧与BC交于点E，四边形ABED是平行四边形，AB=3，那么扇形CDE阴影局部的面积是【 】ABCD3【答案】A。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。【分析】四边形ABCD是等腰梯形，且ADBC，AB=CD。又四边形ABED是平行四边形，AB=DE平行四边形的对边相等。DE=DC=AB=3。CE=CD，CE=CD=DE=3，即DCE是等边三角形。C=60。扇形CDE阴影局部的面积为：。应选A。例8：黑龙江绥化3分如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，那么SDEF：SEBF：SABF=【 】A2：5：25 B4：9：25 C2：3：5 D4：10：25【答案】D。【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】由DE：EC=2：3得DE：DC=2：5，根据平行四边形对边相等的性质，得DE：AB=2：5由平行四边形对边平行的性质易得DFEBFADF：FB= DE：AB=2：5，SDEF：SABF=4：25。又SDEF和SEBF是等高三角形，且DF：FB =2：5，SDEF：SEBF =2：5=4：10。SDEF：SEBF：SABF =4：10：25。应选D。例9：安徽省5分如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到PAB、PBC、PCD、PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： S1+S2=S3+S4 S2+S4= S1+ S3 假设S3=2 S1，那么S4=2 S2 假设S1= S2，那么P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是 把所有正确结论的序号都填在横线上.【答案】。【考点】矩形的性质，相似【分析】如图，过点P分别作四个三角形的高，APD以AD为底边，PBC以BC为底边，此时两三角形的高的和为AB，S1+S3=S矩形ABCD；同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。S2+S4= S1+ S3正确，那么S1+S2=S3+S4错误。假设S3=2 S1，只能得出APD与PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故结论错误。如图，假设S1=S2，那么PFAD=PEAB，APD与PBA高度之比为：PF：PE =AB：AD 。DAE=PEA=PFA=90，四边形AEPF是矩形，矩形AEPF矩形ABCD。连接AC。PF：CD =PE ：BC=AP：AC，即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。APFACD。PAF=CAD。点A、P、C共线。P点在矩形的对角线上。故结论正确。综上所述，结论和正确。例10：福建宁德3分如图，点M是反比例函数y在第一象限内图象上的点，作MBx轴于点过点M的第一条直线交y轴于点A1，交反比例函数图象于点C1，且A1C1A1M，A1C1B的面积记为S1；过点M的第二条直线交y轴于点A2，交反比例函数图象于点C2，且A2C2A2M，A2C2B的面积记为S2；过点M的第三条直线交y轴于点A3，交反比例函数图象于点C3，且A3C3A3M，A3C3B的面积记为S3；依次类推；那么S1S2S3S8 【答案】。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线分线段成比例定理。【分析】过点M作MDy轴于点D，过点A1作A1EBM于点E，过点C1作C1FBM于点F，点M是反比例函数y在第一象限内图象上的点，OBDM=1。A1C1=A1M，即C1为A1M中点，C1到BM的距离C1F为A1到BM的距离A1E的一半。A2C2A2M，C2到BM的距离为A2到BM的距离的。同理可得：S3=，S4=，。练习题：1. 广东省4分如图，在ABCD中，AD=2，AB=4，A=30，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，那么阴影局部的面积是 结果保存2. 浙江温州5分如图，动点A在函数(x>o)的图象上，ABx轴于点B，ACy轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影局部的面积等于 _.3. 江苏常州2分如图，反比例函数和。点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BCx轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OC、OB。假设BOC的面积为，AC：AB=2：3，那么= ，= 。4. 江苏扬州3分如图，双曲线经过RtOMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，OA2AN，OAB的面积为5，那么k的值是5. 湖南岳阳3分如图，ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=AB，DFBC，E为BD的中点假设EFAC，BC=6，那么四边形DBCF的面积为 6. 四川攀枝花4分如图，以BC为直径的O1与O2外切，O1与O2的外公切线交于点D，且ADC=60，过B点的O1的切线交其中一条外公切线于点A假设O2的面积为，那么四边形ABCD的面积是 7. 辽宁朝阳3分如图，在正方形ABCD内有一折线，其中AE