1996年全国硕士研究生考试数学（一）真题（原卷）
1996年全国硕士研究生招生考试数学(一)(科目代码：301)一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设=8,则 a =_.a =_.工-* X CL X CL (2) 设一平面经过原点及点(6, -3,2),且与平面4h y +2z =8垂直，则此平面方程为_(3) 微分方程夕一 + 2夕=e的通解为_.(4)函数u u =ln(_z +/ +/ )在点A (1,0,1)处沿点A指向点B(3, -2,2)方向的方向导 数为_.I1 (5)设A是4X3矩阵，且A的秩r(A)=2,而0 21 0二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1)已知& +严)山丁屈为某函数的全微分，则a等于(A) - 1 (B)0 (C)l20 ，贝 I r(AB)=r(AB)=).(D)2严(r)(2) 设 /(j;)有二阶连续导数，且 7(0) = 0,lim i i = 1,则( ).乂一o | x | x |(A) f(0)是于(工)的极大值(B) /(0)是f(x)f(x)的极小值(C) (0 ,/(0)是曲线y =y = )的拐点(D) f(O)不是/(工)的极值,(0/(0),(0/(0)也不是曲线=/(工)的拐点(3) 设a” 0(九=1,2,),且工a”收敛,常数入G(0,今),则级数另(1) (tan ja2ja2( ).(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与A有关(4)设/(工)有连续导数 /(0) = 0,/z (0)工 0 ,F(jr ) = (j： 2 t2 )f (t)dt, t2 )f (t)dt,且当 x x -* 0 时,F(工)与是同阶无穷小，则怡等于( ).(A)l (B)2(03(D)41996年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 4 页0 0 馆50(5) 4阶行列式0ci ci 2 b b 2 0b3 cc-ib3 cc-i 0的值等于().(A) )6Z(2234 b b 3b 4b b 3b 4(B)a1a23fl4 + blb2b3biblb2b3bi0 0 a4a4(C) (a 卫2 一 一 b3bi) b3bi) (D) (a2a3 b2b3)(a1ai bbQ(a2a3 b2b3)(a1ai bbQ三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)(1)求心形线r=a(l + cos 0 0)的全长，其中a 0是常数.(2)设g =10,工卄1 =丿6+工”(“ =1,2,)，试证数列乂”极限存在，并求此极限.四、(本题共2小题，每小题6分，满分12分)(1)计算曲面积分JJ(2h + z)dydz zdx dy ,z)dydz zdx dy ,其中S为有向曲面z=2+j/2(0zl),其S法向量与2轴正向的夹角为锐角.设变换幻，可把方程冷+害_冷=0化简为窘=0,求常数a,其中 =z+ay dx dJCdy 3y dUdydx dJCdy 3y dUdyZ =Z(H ,y)有二阶连续的偏导数.1996年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 4 页五、（本题满分7分）求级数紗士莎的利六、（本题满分7分）设对任意的x x0,曲线;y = /（jr ）上点（工，/（z ）处的切线在夕轴上的截距等于丄/XCdz ,求x J ox J o于（工）的一般表达式.七、（本题满分8分）设/（工）在0,1上具有二阶导数，且满足条件：（工）|a, |严（工）|Wb,其中a,b都 是非负常数,c为（0,1）内任意一点.（1） 写出/&）在点工=c处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式；（2） 证明：| （c） |2a +.八、（本题满分6分）设A=E-A=E-其中E是阶单位矩阵疋是“维非零列向量，&是的转置，证明:（1） A2 = A的充分必要条件是Mg Mg 1;（2） 当=1时,a是不可逆矩阵.1996年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 4 页九、（本题满分8分）已知二次型 /（J： 1 ,広2，工3）= 5.Z 1 + 5jr 2 + 3 一 2jf ! J7 2 + 6jf ! JT 3 一 6j 2 JC 3 的秩为 2.（1） 求参数C的值及此二次型对应矩阵的特征值；（2） 指出方程/01，尤2，分3）=1表示何种二次曲面.十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分）（1）设工厂A和工厂的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A厂和厂的产品分别占 60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于4厂生产的概率为（2）设行是两个相互独立0.均服从正态分布N（0.的随机变量.则随机变量|$ “| 的数学期望 E（| 7 7 I ） =_.十一、（本题满分6分）设W ,乃是相互独立且都服从同一分布的两个随机变量，且E E的分布律为P =iP =i （/ =1,2,3）,又设 X =X = max g ,rj ,Y,rj ,Y = min ,少.（1）写岀二维随机变量（X,Y）的分布律：YX1 2 3123（2）求随机变量X的数学期望E（X）.1996年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 4 页
