1987-1996年全国硕士研究生考试数学（一）真题合集

1987年全国硕士研究生招生考试数学（一）（科目代码：301）一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 卜=1,（1） 与两直线1 + /,及斗 =尹=千都平行，且过原点的平面方程为_z = 2 + /（2） 当z =_时，函数y y =攵2*取得极小值.（3） 由曲线与两直线夕=（e+ 1） 及y y =0所围成的平面图形的面积为_.（4） 设L为取正向的圆J； +夕2 = 9,则曲线积分$ （2巧2,y）djc + （x22,y）djc + （x2 4jr）dj/的值为（5）已知3维线性空间的一组基为s = （1,1,0）,。2 = （1,0,1）卫3 =（0,1,1）,则向量a = （2,0,0）在上述基底下的坐标为_二、（本题满分8分） x t2 x t2求正常数 a a 与b ,使得lim -:. = 1成立.x-*o bxbx sin J o !a _|_ 2三、（本题满分7分）（1）（本题满分3分）设函数f ,gf ,g连续可微，=y（m）=g（z +砂），求石茹./3 o（2）（本题满分4分）设矩阵A与B满足AB -A +2B,其中A =1 1o 10，求矩阵B.B.1987-1996年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 40 页四、(本题满分8分)求微分方程+ yr，+ yr，+ (9+ 0.五、 选择题(本题共4小题，每小题3分，满分12分)00 1 I(1) 设常数k0,k0,则级数工(一1)斗壬( ).n = l 九(A)发散 (E)绝对收敛(C)条件收敛 (D)收敛或发散与k k的取值有关(2) 设 I = I = ,其中 /(J?)为连续数,s0,t0,则 I I 的值( ).J 0(A)依赖于s,t (E)依赖于s ,ts ,t(C)依赖于t,工，不依赖于s (D)依赖于s,不依赖于/(3) 设lim 了 V-了:; ? = 1,则在点 x =ax =a 处( ).(A)/)可导且fa)fa) HO (B)/(j;)取得极大值(C”Q)取得极小值 (D”Q)的导数不存在(4) 设A为阶矩阵，且|A|=a HO,A*是A的伴随矩阵，则|A* | =( ).(A)a (B) (C)aT (D)aa a六、 (本题满分10分)求密级数 2込T的收敛域，并求其和函数.n = 1 九 21987-1996年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 40 页七、（本题满分10分）计算曲面积分 / = JJz (83/ + 1 )dj/dz + 2(1 y2 )dzdj： 4yz clzdy,其中 S S 是由曲线s sFi(lw0=0（夕W 3）绕夕轴旋转一周所成的曲面，它的法向量与夕轴正向的夹角大八、（本题满分10分）设函数于（工）在闭区间0,1上可微，对于0,1上的每个工，函数的值都在区间（0,1）内, 且frfr （j;） H 1,证明：在（0,1）内有且仅有一个x x，使得f O x.f O x.九、（本题满分8分）JC j X 2 +工3 + 工4 = 0,Z 2 + 2工 3 + 2j? 4=1,问a,b为何值时，线性方程组丿 / 、 有唯一解？无解？有无穷多个xx 2 + （a 3）a: 3 2攵4 = b,3x 1 + 2工 2 + 広 3 + az 4 1 解？并求出有无穷多个解时的通解.1987-1996年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 40 页十、填空题(本题共3小题，每小题2分，共6分)(1) 假设在一次试验中，事件A发生的概率为p,现进行兀次独立试验，则A至少发生一次的概率为_，而事件A至多发生一次的概率为_.(2) 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球.现随机地取一个箱子,再从这个箱子中取出1个球,这个球为白球 的概率等于_.已知取岀的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为_1 2(3) 已知连续型随机变量X的概率密度为/() = +ET,则X的数学期望为_,V7TXX的方差为_十一、(本题满分6分)设随机变量X,Y相互独立，其概率密度函数分别为0 工 VI,其他，夕 0,夕W 0,求随机变量Z=2X+YZ=2X+Y的概率密度函数fz(z).fz(z).1987-1996年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 40 页1988年全国硕士研究生招生考试数学（一）（科目代码：301）一、（本题共3小题，每小题5分，满分15分）（1） 求幕级数 9 誥的收敛域.”=i n n 32（2） 已知=ex=ex，兀申（工）=1工，且爭（z）$0,求卩（工），并写出其定义域.(3)设 S 为曲面 X2 -y2X2 -y2 +z2 =1 的外狈,计算曲面积分 dz + bdzclz+2：Bdj：dy.（3） 设fSfS 是连续函数，且 f（t）dt =xf（t）dt =x，则/（7） =_.J 0（4） 设 4 阶矩阵 A =（a ,丫2，丫3，yj，=（0，丫2，丁3，yQ，其中 a ,fi,y2 ,y3,fi,y2 ,y3 ,y4 都是 4 维列向量,且 AA 1 = 4, BB | = 1,贝!j|A+JB|=_.s二、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）/ 1 2tx（1） 设 f（/） = limt l + ，则厂（刀= JC JC （2） 设fdfd 是周期为2的周期函数，它在区间（-1,1上的表达式为12,12, - 1 0, f（JC）= 则/（工）的傅里叶级数在工=1处收敛于_.1工3 4, 0 ().证明：在(a,b)内存在唯一 的使曲线y = f (x)y = f (x)与两直线y = y(W),工=a=a所围成的平面图形的面积Si是曲线 y y = /(a-)与两直线y y = _/(),z =b=b所围成平面图形面积S?的3倍.十、填空题(本题共3小题，每小题2分，满分6分)19(1) 设三次独立重复试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率为厉，则事件A在一次试验中出现的概率为_.(2) 在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于的概率为_(3) 设随机变量X服从均值为10,均方差为0. 02的正态分布，已知Q)=丄e_Vd,(2. 5) =0. 993 8,则X X落在区间(9. 95,10. 05)内的概率为_.十一、(本题满分6分)设随机变量XX的概率密度函数为心(工)= 求随机变量Y = l- yx的概率7T ( 1 + 工)密度函数fYCy).fYCy).1987-1996年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 8 页，共 40 页1989年全国硕士研究生招生考试数学(一)(科目代码：301)一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 已知 厂(3) =2,则恤八3_策_3)=h_o Znh_o Zn(2) 设/(工)是连续函数，且广(工)=2十2 则f(z)= .J 0(3) 设平面曲线L为下半圆y = J y = J 一 x1x1，则曲线积分J (j:2 + j/2 )ds =_.(4) 向量场 u(x ,y ,z) jcy2i yezju(x ,y ,z) jcy2i yezj ln(l + z2 )k)k 在点(1,1,0)处的散度 div u =_.u =_./3 0 0/I 0(5)设矩阵A= 1 4 0,E =,E =0 1 0，则逆矩阵(A -2E)0 0 3300 r二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 当 20 时，曲线 y = y = j; sin 丄( ).x x(A) 有且仅有水平渐近线(B) 有且仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线，也有铅直渐近线(D) 既无水平渐近线，也无铅直渐近线(2) 已知曲面z=4 / J/上点P处的切平面平行于平面2工+ 2夕+ z 1 = 0,则点P的坐标为( ).(A)(l, -1,2) (B)(- 1,1,2)(0(1,1,2) (D)(- 1, 1,2)(3) 设线性无关的函数，夕2 夕3都是二阶非齐次线性微分方程y + p=fG )y + p=fG ) 的特解,C1?C2为任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( ).(A)C1j/1 +C23/2(E) G_yi + C2y2 C2y2 (Ci + C2 )3(OCqi + C2j/2 (1 一Ci C2 )j/3(D)C1j/1 + C2y2C2y2 + (1 Ci C2 )y3C2 )y31987-1996年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 9 页，共 40 页(4) 设函数 /(j：) = 2 (0 j; V l),S(z)=另 b” sin n ( 00 V 工 V+ ),其中n = 1b b =2 j /Xz )sin 兀 zdz ( = 1,2,)，则3(-)=( ).(A)_ 当 (B) -4- (C) 3 (D) 22 4 4 2(5) 设A为4阶矩阵，且| A | = 0,则A中( ).(A) 必有一列元素全为0(B) 必有两列元素对应成比例(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)(1)设z = fz = f2 2工y)+g(z,zy),其中二阶可导， ，g(“， ，p)具有二阶连续偏导数，求djc dydjc dy(2)设曲线积分f xy2 da: (px )ydyxy2 da: (px )ydy与路径无关9其中卩(工)具有连续的导数，且爭(0) =0, J c cr(i,i)计算 jcy2(xjcy2(x 的值.J (0,0)(3)计算三重积分(jc +z)dv+z)dv ,其中0是由z =Vx2 + y2=Vx2 + y2与z =1 x2 y2 x2 y2所围成的区域.n1987-1996年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 10 页，共 40 页四、（本题满分6分）1 I y将函数于（工）=arctan尸三 展开成工的幕级数.1 X五、（本题满分7分）设于（2 ） = sin x x 1-Of（r）dn其中/（）为连续函数，求/Q）.0六、（本题满分7分）证明：方程In工=-f /1 cos 2工dxdx在区间（0? + ）内有且仅有两个不同的实根.e J o七、（本题满分6分）Z 1 + 工3 =入，问A为何值时，线性方程组丿4孙+厂+2g =入+2,有解，并求出解的一般形式.1 + g 2 + 4z 3 = 2入 + 31987-1996年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 11 页，共 40 页八、(本题满分8分)设入为n n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明:(1) _为A】的特征值；人(2) 字为A的伴随矩阵A *的特征值.人九、(本题满分9分)设半径为R的球面丫的球心在定球面:2 +y2+z2 =a2(a :2 +y2+z2 =a2(a 0)上，问当R取何值时，球 面工位于定球面内部的那部分面积最大？十、填空题(本题共3小题，每小题2分，满分6分)(1) 已知随机事件A的概率P(A)=0. 5,随机事件B的概率P(E)=0. 6,以及条件概率P(BP(B | A) =0.8,则 P(AP(A U B) =_.(2) 甲、乙两人独立对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,已知目标被击中，则它是甲击中的概率为_.(3) 若随机变量在(1,6)上服从均匀分布，则方程工2+%十1=0有实根的概率为_.十一、(本题满分6分)设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1、标准差为施的正态分布，而Y服从标准正 态分布，试求随机变量Z =2X Y + 3的概率密度函数.1987-1996年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 12 页，共 40 页1990年全国硕士研究生招生考试数学(一)(科目代码：301)一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)卜=一 / + 2,(1)过点M(l,2, - 1)且与直线右=3/ -4,垂