1990年全国硕士研究生考试数学（三）真题解析
1990年数学（三）真题解析一、填空题（1）【答案】2.【解】 lim(Jn 麻) = lim - - - 丿x + 3 VTT + J n n(2)【答案】ab.【解】nmF(.) =lim2L =lim +alim = /(Q) +a = a +6,rO TO X x-*O X x-*O XF(0) = A ,由F(jc )在工=0处连续得A = a + b.9（3）【答案】 y.y = j:,【解】 由 得曲线y = x与直线y = x + 2的交点为A ( 1,1) ,B (2,4),y =工 + 2曲线夕=工2与直线，=工+2所围成的平面图形的面积为（4）【答案】Qi+s+s+s =0.A =J (j? + 2 - j;2 * )dj?2（5）【答案】 y.【解】 设X为四次射击中命中的次数，则X3（4）,由 PX 1 = 1-PX = 0 = l-Cjp(l-p)4 = l-(l-p)4 =鲁,2 9得P = 丁，即命中率为二、选择题（1）【答案】（B）.【解】 取无” =2 +手，显然lim） = +,所以f （jc ）为无界函数，应选（B）.4 ”f 89_ I【解】1011010055101101A =A00115()011001S ,0_ 101100一 a10110如0011a30000CL 1 +0-2 +5+ Q 4当 a】 + 02+03+5 = 0 时 r (A) = r (A )0_ Q1、j100Q100110s130011315 .0011a + a2 +，即方程组有解.第 1 页，共 4 页（2） 【答案】（D）.【解 【解 1/（1） = a/（0）,r（i）= lim/”小一心）x-0 X 工0 X=lim = 口厂（= 口厂（0） = ab,T-*O JC应选（D）.（3） 【答案】（C）.【解】【解】向量组!，,-,线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不可由其余向量线性表示, 应选（C）.（4） 【答案】（A）.【解】【解】因为BUA,所以AB = B,于是 P（A +B） = P（A） + P（B） - P（AB） = P（A）,应选（A）.（5） 【答案】（C）.【解】 【解】 因为X,丫相互独立，所以 PX = 1,Y=1=PX = 1PY=1=+，4PX = 1,Y = 1 = PX1 PY1 = T故 PX=Y = PX = 1,Y=1 + PX = 1,Y=1 = 应选(C).In x三、【解】【解】因为“心产土冷“心产土冷（ee 0且A V 0,所以当 即电台广告费为0. 75万元、报纸广告费为jc2 = 1 25,1. 25万元时，收益最高.（2）即求匸（工,工2）= 15 + 13工1+312 28工1工22才一10云 在xx + x2 =15下的条件极值，令 F = 15 + 13乂1 + 31 j: 2 一 8jc ! jr 2 2才一IOjc + 入(工】jc 2 15),-13 4 无 1 2 + 入=0 9ox 1由V务=31 8工1 一 20工2 +入=0, 兀2得 G =0,工2 = 1.5,x 1 x 2 1.5 = 0,即在广告费为1.5万元下，全部投放报纸广告，可使得利润最大.五、【证明】 明】 由拉格朗日中值定理，存在“ 6 （O,ez）,f2 E （b,a+b）,使得 /（a） /（0） = _f（Ei）a ,f （a +6） /（6） = （2）a，因为?! fy 从而/（“）a即 /(a) -/(0) A /(a +6) -f(6),整理得 /(a +6) A012 26b000000（）00000543 3-12,000000000000 得导出方程组的基础解系为=(1, 2,1,0,0)丁，2 =(1， 2,0,1,0)丁，6,0,0,1)T.第 3 页，共 4 页七、【证明】 令AX =入X,则AkX = XkX = 0,因为XH0,所以右=0,从而矩阵A的特征值为入1 = A2 =入” =0,于是E A的特征值全是1, 故 | E -A | = 1H0,即 EA 可逆.由 E = E-Ak = (E A) (E + A -A*-1 )得(E -AL = E+A-A-1.八、【证明】(反证法)不妨设A； ； +X2是矩阵A的属于特征值入3的特征向量， 即 A(Xi +X?) = A3(Xi +X2).显然 AX) )= “Xi ,AX2 =入2X2，从而 4Xi +A2X2 =入3X1 +A3X2，整理得(入 1 一入3)X +(& 入3 )X2 = 0,因为Xi ,X2线性无关，所以入1 一入3 = 0,入2入3 = 0,即入1 =入2,矛盾，故X+ x2不是矩阵A的特征向量.九、【解】C； 7 2C； C； 14 Cl 7P4)厂 15 ca 飞PS)厂 3。十、【解】(1 e,工 $0, (1) FxQ) = F(x , +s)=【0, 工V 0,fl-e-5y , yO, Fy(j/) = F(+,;y) = 10, 3/ 0. i,y 0.1 = px 0.1 py 0.1=l-Fx(0. D 口一 Fy(0. 1)=严.X 79设考生成绩为X,则XN(72,/),从而-N(o,l),a由 PX 96 = P (-y y J = 1 一()= 0. 023 得()= 0. 977,查表得一 =2,即(7 = 12.CT故 P60 X 84 = = 20(1) - 1 = 0.682.第 4 页，共 4 页
