2006年全国硕士研究生考试数学（三）真题（含解析）

2006年全国硕士研究生考试数学三真题第 1 页，共 11 页2006年全国硕士研究生考试数学三真题第 2 页，共 11 页2006年全国硕士研究生考试数学三真题第 3 页，共 11 页2006年数学(三)真题解析一、填空题(1)【答案】1.【解】 当九为偶数时,lim 十1) =lim(l +丄) = 1； “f oo 7? / n-*oo H /当 九为奇数日寸，lim = lim (九 + 】) =im : = lim (1-) = 1；“f 8 72 / ”-* 8 / “f 8 7? 1 n-*00 72 H 1 /所以lim(匕巴=1.n-*oo Yl )(2) 【答案】2e3.【解】 由/(2) 1,得(2) = e .又由 f(x)=efM ,得 yQ) =/小十(工)=es , f(工)=2心 f (工)=2e , 于是 /(2) =2e3.(3) 【答案】 4dj? 一 2dy 【解】z = f/ (4.r2 v2 ) . = 2yf/(4j：2y2 ),=4/,(0) = 2,f =8八0)=(1,2)于是 dz I(1,2)= 4dj? 2dy .(4) 【答案】2.【解】 由BA-B+2E,得B(AE) = 2E,两边取行列式，得丨於丨 |A0=4. 因为 A E =( )，所以 AE |=2,于是 IB I =2.(5) 【答案】 y .【解】 由XU(0,3),YU(0,3)得X,Y的边缘密度为/x)=0 工 3,其他.0 y V 3,其他.几()=由X,Y独立得Pmax(X,Y) l=PXl,Yl=PXlFyl(6)【答案】2.【解】E(X) =x f (.x ) dj? = 0 ,于是 EE) =D(X) =2.2006年全国硕士研究生考试数学三真题第 4 页，共 11 页方法点评：本题考查样本方差的数字特征.本题需要熟练掌握如下性质：(1)设Xi，X2,，X”为来自总体X的简单随机样本，S2 = 工(X, X)2,则 n 1 ；=1E(S2) =D(X) (2)r函数的定义为r()，且具有性质:r( (a + 1) =a r( (cr ) ; F(+l)=”！；卩(*)=/.二、选择题(7) 【答案】(A).【解】 方法一 dj/ = fx )Ax , $ = f(oc + Aj? ) /(x ) = )Az ( x 0,所以fO 单调增加，于是0 V) f.再由 A0,得 0 V /zCx )Ajc V 工，即 0 V dy 0,所以f( (.X ) /(J7O)S)当且仅当攵=2 0时等号成立， 故 y dy .因为 0,、工X x q 0,所以 dy (x 0) (jc J： ： 0) 0,于是 djy 0,应选(A).方法三 =/(j:0 + Ajc ) f (工 q) =/() 工(Ho 0 得dy 0,即dy ,又 dy 0,故 dy 0,应选(A). 方法四 因为/(工)0,/(工)0,所以y=f(x)为单调增 加的凹函数，如图所示.因为Az 0,所以dyBC 0,y =I BD | BC I，应选(A).(8) 【答案】(C).【解】 由lim )=1,得lim/(/z2 ) =0,因为fCx)在工=0处A-* 0 h A-* 0连续，所以f(0) =0.又由曲 炉=怛/(2)J/(Q) F他)，得昇=1应选心(9)【答案】(D).【解】 方法一 令S” =a 1+如+乩，因为5收敛9所以liman =0且limS存在9 = LOO LOO令 limS = S 9“f 82 +2ai+222令,a ” + a ”+十-2a 1 | a n-bl-2 28 I因为limSf =S #存在，所以2 蔦 收敛，应选).fOO / /2006年全国硕士研究生考试数学三真题第 5 页，共 11 页z 1 w 00 8 00 00 00方法二 取q” =一，级数”收敛，但工|a” |=工丄及工（一l）a” = 丫丄发 n = 1 n = 1 n = 1 宛 n = l n = 1 力散，（A）不正确；/ _ -I n 00 8 8 取a” =，级数工a”收敛，丫 a ”a”+i = 工 ,1 v n （n + 1）（C）不正确，应选（D）.OO 00 8 r方法二由级数丫5收敛得2 an与U Tan+l收敛9n = l “ = 1 71 = 100 I由级数收敛的基本性质得工-Lan+1收敛.n = l /（10） 【答案】（B）.【解】夕1（工）一夕2（分）为齐次线性微分方程P Cx ）y = 0的解，j/ + P（.jc）y = Q（jc）的通解为j/十PCz），= 0的通解与夕+ PCz）y = QCz）的特解之和， 故“十 PQ ）_y =QQ ）的通解为Q ） + Cyi （工）一 （力），应选（E）.（11） 【答案】（D）.【解】 方法一 因为（ （px ,y） H0,所以cpx ,y = 0确定夕为h的函数，设为_y = y（r）,代入 中，得 2=兀2,夕（2）.因为（0，火）为极值点,所以乎 =允Qo，%）+ /；（工0，夕0）夕（#0）= 0,x =0若于：（#0，0）H 0,则 fy （0H 0,应选（D）.方法二 令FQ,夕，入）=y（z,）+入卩（工，夕），因为（工。，）为极值点，所以F；（工0 ,夕0）=咒（5，夕0）+入爭：（工0，夕0）= 0,F；（鼻0，夕0）= S夕0）+入卩；（攵0，夕0）= 0, F： Qo ,夕0）=卩（久0，夕0）= 0.当于；（工o，yo）H 0时，入H 0.由 cpy （x0 ,j/0）H0,得入卩；（工0，夕0）H0,则 fy yo）工 0,应选（D）.（12）【答案】（A）.【解】 方法一 令 Q = （a】a?,，a、.），（AaiAct?,，Aa.） =AQ , 则 r（A! ,Aa,Aa2 2，,Aas） r（AQ）r（Q）.若 a】，。2,，a、线性相关，则 r（Q）=r（a1 ,a2 ,as）s ,于是 r r（ （AaAa1 1 ,Aa2,，Aa, ）Wr（Q） Vs ,即AaAa ,Aa,Aa2 2，,Aa,Aas s线性相关，应选（A）.方法二 若s ,2,as线性相关，则存在不全为零的常数 ，匕，使得kxa + 22 + + ksas =0,等式两边左乘A得k! Aa 1 + k k2 2AaAa 2 + + k k s sAaAa s s = 0, 由线性相关的定义得Ag ,Aa2, -,Aa5线性相关，应选（A）.2006年全国硕士研究生考试数学三真题第 6 页，共 11 页（13）【答案】（B）.=BP =BP 1 1I11/I-1【解】B= 010a =PA=PA , , C = B 010o0Jo0J于是C = PAPT,应选（B）.（14）【答案】（A）.【解】由XN（m，时），YN（“2,话），得X “16N(0，l) ,6N(O,1),P|X知py-z| l=p-丄 X_1I 6 6|l=p-丄 V Y 佟1 (T 2 2.V 丄6丿 丄=(丄)一(一丄)= 2(丄) (7 2 ) (5 J 。J J_0(-*) = 2-1,-1,由P|X幻|P| Y-“2 I0()9 即一 或 6 29 2 1 2应选（A）.三、解答题(15)【解】(I)g(H)= lim /(x lim+8arctan x1 + p1 兀工1 y sm-=丄- -limx arctan x1 TZX.7ZX sin-y7ZXx arctan jc1 1 7TJCy(II) lim g Q ) = lima?fo+ 工-* ()+丄丄N)=iimx arctan x 工o+arctan jc 无(1 tcx )x arctan xarctan x 一 x + me2 .-2-= limx 0+（16）【解】=limH0+rb-j29 /( 0( 0 C x a且/(a) = 0,所以/(6) 0,即bsin b + 2cos b + 7tba sin a + 2cos a + ita .方法点评：本题考查利用单调性证明不等式.证明关于两个常数的不等式时，一般先将其中一个常数改为工构造辅助函数，然后利 用单调性证明(18)【解】(I)设曲线方程为L： ：y=y(x)，直线OP的斜率为乞，由题意得X解得dy 3/ 帚旳 1-=ax 或- y = ax， djc x-Ax jcy = (a z e 7 djc + C j e = (ax + C )工=Cx + ax2由 y(l) = 0 ,得 C = a，故 y = y (r ) = ax2 一 ax (U)由2,y = ax，得工=0 ,工y = ax ax，由 _ax 一 (aj?2 一 ax )dj? J o(19)【解】 方法一由limn-*001,得R(2工 一 re2 )dj?=1,(1)T (士 l)2+in(2n 一 1)当2 = 士 1时，因为丫n = 1绝对收敛，故级数的收敛域为1,1.00 / -I n-1 2卄1令S詔厂8 z 1、n1 2n2( -1)xn = 8 z i x n1 2n1” =i 2“一 1SiQ) =2$(-1)-口2”一 2 =2空(工 2)”一1n = 1 n = 1 -dr = 2arctan jc， 0 1 + 允，S (工)=X=sn = l丄 、收敛，即当工=士1时，级数 nlZn 1 ；吕()”T 2“(r 1、=Si(e),其中Si(_z) = Y -To- Si(0)=0,71(/72 1 ) n = 1 nJ 乙Tl 1 ),S】(0) = 0,S (x ) = Si(_z) S (0)=于是 Si(h) =Si (h ) Si (0)=2工 arctan x2arctan x AxJ ox 2x 2 - ax = 2jc arctan x 一 ln( 1 + ) 90 1 +才故 S (乂)= 2 2 arctan x 一 x ln( 1 + 2 ) ( 一 Wl)方法二由lim经三=1得Rw-* I S I(-1)T (土 1)2W+11,当_z = 士 1时，工n = 1n(2n 1)=2 -7丄托收敛，故收敛域为z-ial =i nlZn 1 ；a = ，得 a = 2.21 + JC 2o2006年全国硕士研究生考试数学三真题第 8 页，共 11 页( -i n1 2卄1(一 1) X00 Z -1 H 1 2九 + 1SQ) = Z；i 工W = 1(1)-1八+1 2 十(一1)1 工I _ 2n-l =乂 占2n-l=2n (2n 一 1)/ -| n1 2”+1 (1) X2n而工n = 12 1 ”=】1工2-2也J 0 n = l=X2()”】工加+12 7?E n = l ch =工Cretan 工；1 +d(yxjc2n 卩吕心,a,a3 3 ,a4 I =0,=工 一dj? = -ln(l + 工 $ ) 9Jo 1+jt2 2故 S(h ) =2jc 2arctan x 一 x ln( 1 + jc 2 ) (一 1 工 W 1).(20)【解】 向量组a ax x ,a,a2 2 ,a3 ,a4线性相关的充分必要条件是丨5+ 10)，而1心,。3，叫=1 + a11122 + a22333 +3a4444+ a= a?(a当a a=10 或 a =0时，向量组a a ,a,aL L， ，a 3,。4线性相关.当a a=0时，极大线性无关组为a ax x，且a2 二= 2ai，aG V 3Vi 二 V G o ov b二H (3)A4 起寸入巴汕0T + 1 P T 9+ ZHCVXVIE心vxv勺dH (b) V R H 寸 V bvI 汕心 w xv心(b)vfei V 3V0 沏沏-OH 2 )A 4廿o V巴沏沏“ 2VZXEU 2vadH (3)Q (I)【SB.0 衆v)t9s41 9 (h-iv)0h7 0 0o o o H0F0M.00 0l