2021年秋季北师版八（上）《一次函数》考点清单（学生版）

一次函数考点 1：函数的定义及自变量的取值范围【知识网络】1、 变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。（例如：在匀速运动公式 s = vt 中, v 表示速度, t 表示时间, s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是,常量是。在圆的周长公式 C=2r 中，变量是，常量是.）2、函数：一般地，如果在一变化过程中有变量 x 和变量 y ，并且对于变量 x 的每一个值， 变量 y 都有与它相对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量。（例如匀速运动过程中s = vt ， s 是因变量， t 为自变量）备注：判断 y 是否为 x 的函数时，只要看 x 取值确定的时候， y 是否有唯一确定的值与之对应。3、函数自变量的取值范围函数表达式的形式自变量的取值范围分式型使分母不为零的实数二次根式型使被开方数大于等于零的实数含零次幂、负整数指数幂型底数不为 0 的实数兼以上两种或两种以上形式分别求出它们的取值范围，再求它们的公共部分4、函数表示两个变量的变化关系，有三种方式：列表法、图象法、解析式法. 重点：函数概念及自变量取值范围【经典例题】例 1.下列各曲线中，不能表示 是 函数的为 ()A B C D 3 2例 2. 函数 =中自变量 的取值范围是例 3. 如上图，长方形 中， = 4， = 3，动点 从 点出发，沿 运动至 点停止， 设运动的路程为 ， 的面积为 ，则 与 的函数关系用图象表示正确的是 ()A B C D 考点 2：一次函数与正比例函数图象及性质【知识网络】1、一次函数与正比例函数定义（1） 若两个变量 x、y 之间的关系可以表示为 y = kx + b(k、b为常数，k 0) ， 则称 y 是 x 的一次函数。（注： k 不为零；x 指数为 1； b 取任意实数）（2） 当b = 0 时，一次函数 y = kx + b(k、b为常数，k 0) 即 y = kx(k为常数，k 0) ，则称 y 是 x 的正比例函数。2、一次函数与正比例函数关系正比例函数是特殊的一次函数。正比例函数一定是一次函数；一次函数不一定是正比例函数。3、正比例函数性质：解析式： y = kx(k为常数，k 0)必过点：（0，0）、（1，k）走向：k>0 时，图象经过一、三象限；k<0 时，图象经过二、四象限增减性：k>0，y 随 x 的增大而增大；k<0，y 随 x 增大而减小倾斜度：|k|越大，越接近 y 轴；|k|越小，越接近 x 轴4、一次函数性质解析式： y = kx + b(k、b为常数，k 0)b必过点：（0，b）和（ - k ，0）走向： k>0，图象必过第一、三象限； k<0，图象必过第二、四象限。b>0，图象必过第一、二象限； b<0，图象必过第三、四象限。增减性： k>0，y 随 x 的增大而增大；k<0，y 随 x 增大而减小.倾斜度：|k| 越大，图象越接近于 y 轴；|k| 越小，图象越接近于 x 轴.b>0b<0b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小5、一次函数 y=kxb 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画 一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.b一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：与 y 轴的交点（0，b），与 x 轴的交点（ -，0）.k即横坐标或纵坐标为 0 的点. 重点：一次函数图像特征【经典例题】例 1.下列关于一次函数 y = -2x + 3 的结论中，正确的是（）A图象经过点（3，0）B图象经过第二、三、四象限3Cy 随 x 增大而增大D当 x 2时， y 0例 2. 已知函数 = + 的图象如图所示，函数 = + 的图象大致是()A B C D 例 3.若 < 0， > 0，则一次函数 = 的图象不经过()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点 3：求解一次函数解析式【知识网络】1. 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1） 由于正比例函数 y = kx （ k 0）中只有一个待定系数 k ，故只需一个条件（如一对 x ， y 的值或一个点）就可求得 k 的值。（2） 由于一次函数 y = kx + b （ k 0）中有两个待定系数 k ， b ，需要两个独立的条件确定两个关于 k ，b 的方程，求得 k ， b 的值，这两个条件通常是两个点或两对 x ， y 的值。2. 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。其中未知系数也叫待定系数。例如：函数 y = kx + b 中， k ， b 就是待定系数。3. 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1） 设函数表达式为 y = kx + b ；（2） 将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3） 求出 k 与 b 的值，得到函数表达式 重点：待定系数法【经典例题】例 1一次函数 = + 的图象经过点 (1,3) 和 (0,1)，那么这个一次函数是()A = 2 + 1B = 2 + 1C = + 2D = + 2例 2已知一次函数 ykx+b（k0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为 2，则一次函数的解析式为（）Ayx+2Byx+2Cyx+2 或 yx+2Dyx+2 或 yx2考点 4：一次函数图象的几何变换【知识网络】1. 一次函数平移后解析式变化规律：上加下减，左加右减（1） y = kx + b 上下移动 m 个单位，解析式变为 y = kx + b m ；（2） y = kx + b 左右移动 m 个单位，解析式变为 y = k (x m) + b（3） 正比例函数与一次函数图象之间的关系：一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线 y = kx 上下平移|b|个单位长度而得到（当 b>0 时，向上平移；当 b<0 时，向下平移）1 对 1 初中数学组2. 直线的对称若直线 l 与直线 y = kx + b（1） 关于 x 轴对称，则直线 l 的解析式为 y = - kx - b（2） 关于 y 轴对称，则直线 l 的解析式为 y = - kx + b（3） 关于直线 y = x 对称，则直线 l 的解析式为 y = 1 x - b5k（4） 关于直线 y = - x 对称，则直线 l 的解析式为 y =（5） 关于原点对称，则直线 l 的解析式为 y = kx - b3. 两条直线 y = k1x + b1 与 y = k2 x + b2 的位置关系k1 x + b kk（1）两直线平行： k1 = k2 且b1 b2（3）两直线重合： k1 = k2 且b1 = b2（2）两直线相交： k1 k2（4）两直线垂直： k1k2 = -1重点：一次函数平移特征，两直线特殊位置关系【经典例题】例 1直线 = 2 + 2 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到的直线的解析式是例 2若直线 ykx+b 平行于直线 y3x4，且过点（1，2），则该直线的解析式是（）Ay3x2By3x6Cy3x5Dy3x+5例 3如图，在平面直角坐标系 中，已知点 （3，4），将 绕坐标原点 逆时针旋转 90 o至 ，则点的坐标是考点 5：利用一次函数图象解方程与不等式【知识网络】1. 一次函数与一元一次方程的关系任何一元一次方程到可以转化为 ax+b=0（a，b 为常数，a0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线 y=ax+b 确定它与 x 轴的交点的横坐标的值.2. 一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0 或 ax+b<0（a，b 为常数，a0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量的取值范围.1 对 1 初中数学组3. 一次函数与二元一次方程组（1） 以二元一次方程 ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数 y= - a x + c 的图象相同.6a1x + b1 y = c1（2） 二元一次方程组a2 x + b2 y = c2的解可以看作是两个一次函数 y= -bba1 x + c1 b1b1和 y= - a2b2x + c2 的图b2象交点.重点：一次函数与方程、不等式的关系【经典例题】例 1如图，一次函数 = 1 + 的图象与正比例函数 = 2 的图象相交,则关于 的方程1 + = 2 的解为()A = 0B = 1C = 2D = 1例 2如图，直线 y = ax + b 过点 A(0, 2) 和点 B(-3, 0) ，则方程 ax + b = 0 的解是()A. x = 2B. x = 0C. x = -1D. x = -3例 3一次函数 1 = + 与 2 = + 的图象如图所示，则 0 < + < + 的解集为()A > 3B < 2C2 < < 3D0 < < 21 对 1 初中数学组7例 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y1 =2 x - 2 的图象与函数 y322x + 5( x1)=x + m - 6( x1)的图象在第一象限有x 一个交点 A，且点 A 的横坐标是 6（1） 求 m 的值；（2） 补全表格并以表中各组对应值作为点的坐标，在坐标系内描出相应的点，补充画出 y2 的函数图象；x