第三章——优化模型
31第三章 优化模型当决策者要在要在许多可供选择的策略中作出抉择，选出最佳的策略。这类问题称为优化问题。描述优化问题的数学模型称为优化模型。本章主要介绍一些可用微分方法解决的优化模型§3.1 存贮模型3.1.1问题描述通常工厂要订购各种原材料，存在仓库里供生产用；商店要成批地购进各种商品供零售用。那么每隔多长时间订货一次每次订货量为多少最合算？这类问题称为存贮问题。3.1.2 模型假设1 每隔 T 天订货一次，即订货周期为 T 天，设订货可立即送到；2 每次订货量为 Q 吨；3 每次订货费用为 C1 元（不包括买货费用，与 Q 无关） ；4 每天对货物的需求量为 r 吨；5 货物每吨每天的库存费用为 C2 元；6 货物每天每吨的缺货费用为 C3 元（因缺货而造成的损失） ；327 用 t 表示从第一次订货算起的时间（单位：天） ，q 表示库存量，C 表示总费用 .3.1.3 建模与求解总费用=订货费+ 库存费+缺货费（一）不允许缺货的情形即每当库存量降至 0 时就立即补足。此时不存在缺货费。当 0tT 时，平均库存量为Q/2,从而库存费为 C2TQ/2，故总费用 C= C1+ C2TQ/2日均费用 ，21QCTt=T 时，q=0 , Q=rT, 即 T=Q/r. (Q>0)21QrC令 得 0d021Cr解出驻点 从而 21CrQ*21rT*21r* 驻点 Q*就是最小值点。0231r T *为最佳订货周期，Q *为最佳订货量。QOtT 2TQq=Q-rtqQ库存量图图 3.1.133称为 EOQ（Economic Ordering Quantity）公式.21CrQ*（二）允许缺货的情形当库存量下降至 0 时，就实行“缺货预约”的办法。即待进货后补偿。Q1-最大库存量，Q s-允许最大缺货量, Q= Q1+Qs在 0tT 时，有 T1天要交库存费,平均每天库存量按 Q1/2 来算,库存费= 12C另有 T-T1天要支付缺货费，平均每天缺货量按 Qs/2来算, 缺货费= ，又因 Qs=r(T-T1) 缺货费=)T(QCs132 213)T(rCQ1OtT1q=Q1-rtqQ库存量图TQs图 3.1.234总费用 C=C1+ + ,又因 T1=Q1/r12TQC213)(r总费用 C=C1+ +r21r)QC213日均费用 ,这里 T 与 Q1 是变量.T)(rQCT21321令 ，得 ，解出 ，再把此式代入方01QC01312)(r 132rC程 T解得 ）（ 3211CrQ*从而 321C)(rT*)(rT*3211 ）（ 3231CrQ*s，3211rQ*S* ）（ 321r*当 C3+时，Q s* 0, Q1*= , ，即变为不允许21Cr211rCT*缺货的情形。§3.2 森林灭火3.2.1问题描述当森林失火时，消防站应派多少消防队员去灭火呢？派的队员越多，火灾损失越小，但救援开支越大。派多少队员去灭火，才能使总费用（火灾损失+救援开支）最小呢？3.2.2问题分析（1）火灾损失与森林被烧面积有关，而被烧面积又与从起火到火灭35的时间有关，而这时间又与消防队员人数有关。（2）救援开支由两部分构成，灭火剂的消耗与消防队员酬金（与人数和时间有关） ；运输费（与人数有关） 。（3）在无风的情况下，可认为火势以失火点为圆心，均匀向四周蔓延。半径与时间成正比，从而被烧面积应与时间的平方成正比。3.2.3 模型假设1. 火灾损失与森林被烧面积成正比。记开始失火的时刻为 t=0，开始灭火的时刻为 t=t1，火被完全扑灭的时刻为 t=t2。设在时刻 t 森林被烧面积为 B(t)， C1 表示单位面积被烧的损失，则总损失为C1B(t2).2. 表示单位时间被烧面积(燃烧速度：m 2/min),当 t=0 与 t=t2 时dtB最小，且为 0，当 t=t1 时最大，记 .由前面分析，B(t)与 t2 成正b|dtB1比,故不妨设在区间0,t 1与t 1,t2上， 都是 t 的线性函数。 在0,t 1 上，斜率为 >0， 称为火势蔓延速度(燃烧速度的变化速度：m2/min2),在t 1,t2 上 ,斜率为 -x0 -x0，即驻点就是最小值点。3212)x(bdxC）（3.2.5 结果解释从结果(3.2.3)看，x >/ ，这表示为了能把火扑灭，派出的消防队员人数要大于 /，这保证 -xu>0. (3.3.12)的两边分别除以 (3.3.11)的两边得: 2buav)v(s , (3.3.13)u/vln()babal(s22 (3.3.14)ssuc223.3.6.2参数 s的性质我们可以证明，由(3.3.13)式确定的 s 满足：1u，所以 a+bv>a+bu, ， ，uvuvba2 uvlnbavln2 12)/vln()l(s另方面，因为 uS3S4, 则 Ta 的总长<T b 的总长.作业ABCDTbS3S465有两个村庄分别位于 XOY 平面的点 A(2,5)与点 B(2,7)处， （单位：km）它们要在河边（直线 y=x）共建一间水电厂，请你为它们设计水电厂的位置以及铺设电缆的方法，使总长最短，并问 8 km 电缆是否够用？
