全国通用六年级下册数学小升初复习：05讲 数论—整除试题

第五讲数论模块（一）概念：()ca,cbc(a+b)或c(a-b);(2)ba,cbca.1(3)bcaba,ca;(4)ba, ca且（b, c）=1bca;整性质除(5)abapbp(p 0);(6)ab且cbacbd.特征：2/5；整除的应用.4/25；8/125；3/9；11；7/11/13.性质：奇偶数的奇偶分析及应用：判断，反正：整数分拆中的最值问题.极值（最大最小离散）面积：和一定，差小乘积大；积一定，差小和小.性质：数枚举法：短除法：论(一)因数：公因数：分解质因数：最大公因数：倍数：方法辗转相除法：公式法：公倍数：求分数的最大公约数：最小公倍数：求分数的最小公倍数：因数个数：最大公因数与最小公倍数的关系：质数、合数判断质数：常用的100以内的质数质因数个数、和、积：分解质因数乘积末尾0的个数：10=25平方数性质：平方数、个位规律判定法：个位规律：110 / 10带余除法：(1)a +b p +p ；12>p , a -b p -p ；当p(2)a -b 1212如果a p ，b p带余性质12当p <p , a -b p -p +m1212(mod m)，那么数(3)a b p p ；12论（4）如果ab(modm),那么ma-n.(二)中国剩余定理：余1律升级满足法：前几级得数前几级公倍数本级余数(mod本级数).进制数：数位与位置：2整除本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对于学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。一整除约数和倍数一般地，如a、b、c为整数，b0且ab=c,即整数a除以b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数为0）,我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a），记作ba.否则，称之为a不能被b整除（或者说b不能整除a），记作ba.特别的，注意0b0(b0)，所以说零能被任何非零整数整除，零也是任何非零整数的倍数还有 a1a，所以说 1 能整除任何整数，1 是任何整数的约数显然，1 能整除任意整数，任意整数都能整除 0因为整除均在整数范围内考察，所以以下所指之数不特加说明均指整数如果整数 a 能被整数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 叫做 a 的约数。相关知识衔接整除在自然数范围内两个数相除，除的商是整数而没有余数的情形。除尽两个数相除，所得的商是整数或有限小数。整除是除尽的一种特殊情况。除不尽一个整数除以另一个非零自然数，得到一个无限小数时的情形。二数的整除性质（设a，b，c均为非零整数）性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。即：如果ca，cb，那么c（ab）。例如：如果210，26，那么2（106），并且2（106）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果 bca，那么ba，ca。性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。即：如果ba，ca，且（b，c）=1，那么bca。例如：如果 228，728，且（2，7）=1,那么（27）28。性质 4：如果 c 能整除 b，b 能整除 a，那么 c 能整除 a。即：如果 cb，ba，那么 ca。例如：如果 39，927，那么 327。性质 5：如果 b 能整除 a，那么 bm 也能整除 am即：ba，那么bmam（m为非0整数）；性质 6：如果 b 能整除 a，且 d 能整除 c，那么 bd 也能整除 ac即：ba，且dc，那么bdac；性质7：a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。附加性质：若c|b，b|a，则c|a若b|a，则bc|ac若c|a，c|b，则对任意整数m、n，有c|manb若b|ac，且(a，b)1，则b|c若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c(ab)|(anbn)(nN)，(ab)|(anbn)(n为奇数)和/差的整除性积的整除性积的整除性整除的传递性整除周期性3三.数的整除特征能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。能被 5 整除的数的特征：个位是 0 或 5。能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被 3（或 9）整除。能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25）整除。例如：1864=180064，因为 100 是 4 与 25 的倍数，所以 1800 是 4 与 25 的倍数.又因为464，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.能被 8（或125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125）整除。例如：2937529000375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。例如：判断 123456789 这九位数能否被 11 整除？解：这个数奇数位上的数字之和是 97531=25，偶数位上的数字之和是 864220.因为25205，又因为115，所以11123456789。再例如：判断 13574 是否是 11 的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（451）-（73）0. 因为 0 是任何整数的倍数，所以 110.因此 13574 是 11 的倍数。能被7（11或13）整除的数的特征（方法一）：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。例如：判断 1059282 是否是 7 的倍数？解：把 1059282 分为 1059 和 282 两个数.因为 1059-282777，又 7777，所以 71059282.因此 1059282 是 7 的倍数。再例如：判断 3546725 能否被 13 整除？解：把 3546725 分为 3546 和 725 两个数.因为 3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为8212819，又13819，所以132821，进而133546725.能被 7、11、13 整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与前面隔出数的差(大减小)能被 7 整除(即qponmcba能被7、11、13整除，7、11、13|cba-qponm或7、11、13|qponmcba)；qponmcba 表示这是一个多位数，而不是q与p、o、c、b、a等数的乘积。能被 7（11 或13）整除的数的特征（方法二）：3 位一截法能被 99 整除的数的特征：n 位一截法对于合数，我们先把合数分解质因数，再一个一个的考察这样就化归为质数整除问题。【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）42、5家族整除性质规律：(21)25(51) =10=1101-看最后一位(22 )4 25(52 ) = 100=1102 -看后两位(23 )8125(53 ) = 1000=1103 -看后三位.(2n)2n5（n5n）=110n-看后n位3、9家族规律：（弃“3”弃“9”原理）整除的判别法：设整数Nanan-1a2a12|a12|N，5|a1 5|N3|a1a2an 3|N9|a1a2an 9|N4|a2a125|N4|N25|a2 a18|N125|N8|a3a2a1125|a3a2a1a4 a3a2a1 |7|N7|anan-111|anan-1a4a3a2a1|11|N11|(a2n1a2n1a1)(a2na2n2a2)11|Na4 a3a2a1 |13|N13|anan-1推论：三个连续的整数的积能被6整除5【例题】例1：下面有9个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125。在这些自然数中，请问：（1）有哪些数能被 2 整除？哪些能被 4 整除？哪些能被 8 整除？（2）有哪些数能被 5 整除？哪些能被 25 整除？哪些能被 125 整除？例2：一个三位数64 的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“”中合适的取值：（1）如果要求这个三位数能被3整除，“”可能等于多少？（2）如果要求这个三位数能被4整除，“”可能等于多少？（3）这个三位数有没有可能同时被3和4整除，如果有可能，“”可能等于多少？例3：新学年开始了，同学们要改穿新的校服。小悦收了9位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师。老师给了小悦一张纸条，上面写着“交来校服费238元”，其中有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清楚了。冬冬看了看，很快就算出了方格处的数字。聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？例4：四位数29能同时被3和5整除，求出所有满足要求的四位数.例5：已知45x1993y，求所有满足条件的六位数x1993y。6