中考数学专题特训第二十一讲：矩形_菱形_正方形(含详细参考答案)

2013年中考数学专题复习第二十一讲 矩形 菱形 正方形【基础知识回顾】一、 矩形： 1、定义：有一个角是 角的平行四边形叫做矩形 2、矩形的性质： 矩形的四个角都 矩形的对角线 3、矩形的判定：用定义判定有三个角是直角的 是矩形对角线相等的 是矩形【赵老师提醒：1、矩形是 对称到对称中心是 又是 对称图形对称轴有 条2、矩形被它的对角线分成四个全等的 三角形和两个全等的 三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等知识解决问题】菱形：1、定义：有一组邻边 的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：菱形的四条边都 菱形的对角线 且每条对角线 3、菱形的判定：用定义判定对角线互相垂直的 是菱形四条边都相等的 是菱形【赵老师提醒：1、菱形即是 对称图形，也是 对称图形，它有 条对称轴，分别是 2、菱形被对角线分成四个全等的 三角形和两对全等的 三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的 来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形知识洁具的题目】三、正方形： 1、定义：有一组邻边相等的 是正方形，或有一个角是直角的 是正方形2、性质：正方形四个角都 都是 角，正方形四边条都 正方形两对角线 、 且 每条对角线平分一组内角3、判定：先证是矩形，再证 先证是菱形，再证 【赵老师提醒：菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。这四者之间的关系可表示为：正方形也即是 对称图形，又是 对称图形，有 条对称轴几种特殊四边形的性质和判定都是从 、 、 三个方面来看的，要注意它们的和联系】【重点考点例析】 考点一：和矩形有关的折量问题例1 （2012肇庆）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BEAC交DC的延长线于点E（1）求证：BD=BE；（2）若DBC=30，BO=4，求四边形ABED的面积思路分析：（1）根据矩形的对角线相等可得AC=BD，然后证明四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证；（2）根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度，再根据30角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度，然后利用勾股定理求出BC的长度，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解解答：（1）证明：四边形ABCD是矩形，AC=BD，ABCD，BEAC，四边形ABEC是平行四边形，AC=BE，BD=BE；（2）解：在矩形ABCD中，BO=4，BD=2BO=24=8，DBC=30，CD=BD=8=4，AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8，在RtBCD中，BC= =4，四边形ABED的面积=（4+8）4 =24点评：本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，平行四边形的判定与性质，30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键对应训练1（2012哈尔滨）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，AED=2CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 1考点：矩形的性质；勾股定理专题：计算题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AG=DG，然后根据等边对等角的性质可得ADG=DAG，再结合两直线平行，内错角相等可得ADG=CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得AGE=2ADG，从而得到AED=AGR，再利用等角对等边的性质得到AE=AG，然后利用勾股定理列式计算即可得解解：四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点，AG=DG，ADG=DAG，ADBC，ADG=CED，AGE=ADG+DAG=2CED，AED=2CED，AGE=AED，AE=AG=4，在RtABE中，AB=故答案为：点评：本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，以及勾股定理的应用，求出AE=AG是解题的关键 考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题例2 （2012衡阳）如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tanABD=，则菱形ABCD的面积为 cm2思路分析：连接AC交BD于点O，则可设BO=3x，AO=4x，继而在RTABO中利用勾股定理求出AB，结合菱形的周长为20cm可得出x的值，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案解答：解：连接AC交BD于点O，则ACBD，AO=OC，BO=DO，设BO=3x，AO=4x，则AB=5x，又菱形ABCD的周长为20cm，45x=20cm，解得：x=1，故可得AO=4，BO=3，AC=2AO=8cm，BD=2BO=6cm，故可得ACBD=24cm2故答案为：24点评：此题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直且平分的性质，及菱形的面积等于对角线乘积的一半是解答本题的关键对应训练2（2012山西）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AEBC于点E，则AE的长是（）A5cm B2cm Ccm Dcm 2考点：菱形的性质；勾股定理分析：根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RTBOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BCAE，可得出AE的长度解答：解：四边形ABCD是菱形，CO= AC=3cm，BO=BD=4cm，AOBO，BC= =5cm，S菱形ABCD=BDAC 2 =68=24cm2，S菱形ABCD=BCAD，BCAE=24，AE=cm，故选D点评：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分 考点三：和正方形有关的证明题例3 （2012黄冈）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M求证：AMDF考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：证明题分析：根据DE=CF，可得出OE=OF，继而证明AOEDOF，得出OAE=ODF，然后利用等角代换可得出DME=90，即得出了结论解答：证明：ABCD是正方形，OD=OC，又DE=CF，OD-DE=OC-CF，即OF=OE，在RTAOE和RTDOF中，AOEDOF，OAE=ODF，OAE+AEO=90，AEO=DEM，ODF+DEM=90，即可得AMDF点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明得出OAE=ODF，利用等角代换解题对应训练12（2012贵阳）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上（1）求证：CE=CF；（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形分析：（1）根据正方形可知AB=AD，由等边三角形可知AE=AF，于是可以证明出ABEADF，即可得出CE=CF；（2）连接AC，交EF与G点，由三角形AEF是等边三角形，三角形ECF是等腰直角三角形，于是可知ACEF，求出EG=1，设BE=x，利用勾股定理求出x，即可求出BC的上，进而求出正方形的周长解答：（1）证明：四边形ABCD是正方形，AB=AD，AEF是等边三角形，AE=AF，在RtABE和RtADF中， AB=AD AE=AF ，RtABERtADF，CE=CF，（2）解：连接AC，交EF于G点，AEF是等边三角形，ECF是等腰直角三角形，ACEF，在RtAGE中，EG=sin30AE=2=1，EC=，设BE=x，则AB=x+，在RtABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+）2+x2=4，解得x=，AB=，正方形ABCD的周长为4AB=点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是对正方形和三角形的性质的熟练运用，此题难度不大，是一道比较不错的试题考点四：四边形综合性题目例4 （2012江西）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，BAE的大小可以是 715或16515或165考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质专题：分类讨论分析：利用正方形的性质和等边三角形的性质证明ABEADF（SSS），有相似三角形的性质和已知条件即可求出当BE=DF时，BAE的大小，应该注意的是，正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解解答：解：当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE=DF时，ABEADF（SSS），BAE=FAD，EAF=60，BAE+FAE=30，BAE=FAD=15，当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE=DF时，AB=AD BE=DF AE=AF，ABEADF（SSS），BAE=FAD，EAF=60，BAE=（360-90-60）+60=165，BAE=FAD=165故答案为：15或165点评：本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定和全等三角形的性质和分类讨论的数学思想，题目的综合性不小对应训练4（2012铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是 4考点：正方形的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线专题：证明题分析：证COADOB，推出等腰直角三角形AOB，求出AB= 2 OA，得