数学建模报告：由层次分析法预测票房冠军
票 房 冠 军由层次分析法预测票房冠军辅导老师：窦霁红 彭国心报告人：兰寿山 小组成员：邵勇，杨仕学，兰寿山 进入21世纪，我们国家在社会，经济，政治，文化，教育等各领域都得到了快速的发展，并取得了长足的进步。人民的生活的水平提高了，物质资料殷实了。精神文化也应得到相应的提高。于是，娱乐休闲成为了人们生活中不可或缺的部分。而电影这一艺术娱乐形式更是由于它的通俗易懂而被大多数的人们接受并由此形成了一大股忠实的影迷。这两年，随着我国电影事业的发展，以前只能在美国电影中看到的宏片巨制也慢慢的发展到了国产影片中，以商业价值为目的的所谓大片一次一次的冲击着我们的视野。而票房成绩是最能衡量一部影片成功与否的最重要的因素。今天我们就一谁是“票房冠军”为目标预测一下在未来的日子里，中国电影史上最值得期待的几部电影之三：满城尽带黄金甲，夜宴和赤壁之战！模型建立 建立层次结构图 决定一部影片是否取得票房佳绩的因素很多。在这里，我们选取演员阵容，影片制作，上映挡期，内容剧情，宣传力度五个要素作为准则并分别用C1，C2，C3，C4，C5代表之构成准则层；P1，P2，P3分别代表三部影片满城尽带黄金甲，夜宴，赤壁之战，构成方案层。“票房冠军”用O代表，是目标层。用层次分析法建立如下的关于决策问题的层次结构图： 票房冠军演员阵容宣传力度内容剧情影片制作上映挡期 赤壁黄金甲夜宴 构造成对比较矩阵： 根据决定电影票房成功与否的各个因素对电影影响的程度的不一致，我们得到准则层对目标层的成对比较矩阵A如下： 同样的，我们构造方案层（第三层）对准则层（第二层）的每一个准则构成的成对比较矩阵并分别B1，B2，B3，B4，B5表示如下：B1= B2= B3= B4= B5=因为三部影片在我们选定的五个影响电影的准则方面表现是不一样的。因此我们在分析了三部影片在这几方面各自的特点之后做出的这几个对比矩阵是有一定的道理的，并且是可信的。在此我们列出了决策层的部分质料，以供参考;满城尽带 黄金甲：导演：张艺谋，主演：周润发，巩俐，周杰伦，刘烨等；大约投资有人民币3亿五千万夜宴：导演，冯小刚；主演：葛优，章子怡，周迅，吴彦祖，黄小明等。大约投资人民币近2亿。赤壁之战：导演：吴宇森；主演：周润发，梁朝伟，林志玲等，投资5000万美元。计算权向量并做一致性检验：一，预备知识，首先引入部分定义，公式：定义1：如果一个正反矩阵A满足= （i,j,k =，2，3，n），则称A为一致阵。若A为一致阵，则它有如下的性质：i），秩一定为1，它的唯一非0特征根为n；ii），任一列（行）向量都是对应于特征根的特征向量。由于对比矩阵是我们对复杂事物的两两比较所得的结果，不可能做到判断具有完全一致性。因此我们需要对比较矩阵进行一致性检验。由此引出第二个定义。定义2：CI= ( )/(n-1) 定义为一次性指标；CI越大，比较矩阵的一致性越差，A的不一致程度就严重。 为了确定A的不一致程度的容许范围，需要找出衡量A的一致性指标的标准。Saaty引入了随机一致性指标RI，下表为平均一致性指标的值：n123456RI000.580.901.121.2定义3：CR=CI/RI为一致性比率。当CR<0.1时，认为矩阵的不一致程度在容许范围之内，可用其特征值做为权向量，即可通过一致性检验。二，权向量的计算步骤： 求出成对比较矩阵的最大特征值 求出与对应的特征向量= 向量归一化:=; =基于以上的预备知识我们对矩阵A，B1，B2，B3，B4，B5求解权向量并做一致性检验。对矩阵A：=5.0153;CI=0.0038, CR=CI/RI=0.0038/1.12=0.0034<0.1;通过一致性检验。对B1，B2，B3，B4，B5我们有如下表： k123450.39350.25460.28710.27600.38860.42390.19710.41420.29720.33760.18260.54850.29870.42680.27583.00553.00553.00153.00553.00020.00280.00280.00080.002800.00480.00480.00130.00480由此表可以看出CI都通过一致性检验。 计算组合权向量并做一致性检验：定义组合权向量：我们把各方案对目标的权向量称为组合全向量，记为，在上一步骤中我们求出了第二层对第一层的。所以方案P1，P2，P3对目标层的组合权向量应为与的对应向量的两两乘积之和。则P1在目标层中的组合权向量为：0.3935*0.4235+0.2546*o.3115+0.2871*0.0948+0.2760*0.0577+0.3886*0.1125=0.3348同样的，我们可以得到P2，P3对目标层的权向量为0.3329,0.3313即=（0.3348, 0.3329, 0.3313）.由此结果表明三部影片在表现大致上是一样的，也既是说，最终谁夺得票房冠军都不是意外。现在我们对组合权向量做一致性检验，一确定结果是否可以作为最终决策的依据：定义：则第s层对第一层的的组合一致性比率为在本问题中，；则CR=；组合一致性检验通过。 模型评价：因为层次分析法过多的考虑了人为的因素，所以我们不可能做到结果和实际情况完全相同。从模型建立的角度来说，我们需要增加准则层的准则以达到全面的评估目标层，方案层也是一样的，但要考虑心理因素，所以一般选择172之间。从现实角度来说，层次分析法不失为一种人们对决策问题进行决策的最有效的方法。 参考书目：数学模型，姜启源，高教出版社
