定积分不等式的证明

定积分不等式 整理人：白朗 I.I.预备知识预备知识 我们经常会遇到积分形式的不等式， 这里称之为积分不等式积分不等式。 一般来说， 常常借助于积分方法来证之， 包括分部积分，利用积分的性质及第一、第二积分中值定理.主要依据是以下几个定理与结论： 定理定理 1 1. .设，且，则. 定理定理 2 2. .设，则. 定理定理 3 3. .设，且，则存在，使得 . 定理定理 4 4. .设为单调函数，则存在，使得 . 命题命题 1 1. .设在上单调减少，数列非负严格单调减少，则 . 命题命题 2 2. .设，则. 命题命题 3 3. .设，若与同序，即对，有 ，则. 这里给出命题命题 3 3 的证明：令，则由积分的性质可得 ， ， 由与同序知，. 两边积分，整理得. 同理可知，当反序时，不等号方向改变. 在证明过程中可能会使用不等式不等式、微、微( (积积) )分中值定理、重积分法、常数变易法分中值定理、重积分法、常数变易法，间或利用凹凸凹凸 性性(笔者于本文中提及的凸函数均指下凸，简单来说，指满足凸函数均指下凸，简单来说，指满足的函数的函数). 诚然，积分不等式题型丰富，内容广博，绝非笔者所能穷举.接下来我们将通过例题及解答的方式一同 探讨，或许会有优美的解法，或许在解题能力上会对大家有所裨益. I II.I.典型例题典型例题 1.设，求证：. 证：注意到. 于是，.两边取定积分，可得 . 2.设，且，求证：. 证 1：，有. 由，有.两边积分即得所要的不等式. 证 2：. 3.设，且，求证：. 证：注意到.两边积分即得证. 4.设在上递增，且.求证：. 证 1：( 在 与 间). 因，故.将代入上式，并相加，有 .两边积分，得 .整理即证毕. 证 2：，则. 两边积分，得. 5.设，且.求证：. 证：令，则. 于是，.由，有 .即. 注：加以条件加以条件，我们可以得到：. 6.设处处二阶可导， 且，为连续函数.求证：. 证：显然，. 令，则. 故. 7.设，且.求证：. 证：记，当，. 因此，.同理，. 故. 8.设.令，求证：. 证 1：. 注意到，则 ，即. 证 2：注意到 .因此，我们有 . 9.设.令，求证：. 证 1：由，有. 两边积分，得.于是，有 . 证 2：将分别在处泰勒展开，并相加，有 .两边积分，得 . 故. 10.求证：. 证：注意到，则 . 11.设增函数，求证：. 证 1： , 其中.故. 证 2： .故 . 12.设.求证：. 证：注意到，则. 于是，.同理，将在 处展开，可得. 13.设， 且.求证：. 证： . 14.设在上连续、递增，且.若，求证： . 证：记，则 同理，.两式相加，可得 .证毕. 15.设，求证：. 证：，若在内无零点，则不变号，即. 若，有，所以有 . 16.求证：. 证：. 17.设，且.求证：. 证：由于，不妨设，并记. 因，得. 于是，.因此， . 18.设 连续可导，且.求证：. 证：. 19.设，且.求证：. 证：注意到，即. 两边积分，得.整理即得证. 20.求证：. 证：左边. 21.求证：. 证：注意到，两边积分，得. 将泰勒展开，取，则 令，得. 22.设，且.求证：. 证： 显然， 则. 第二个等号成立是因与反序，故. 23.设是上的凸函数，存在且有界.求证：. 证：由题意，在递增有界，故可积.对，有 . 24.设，且分别在的某有限区间外为零.求证： . 证：记，其中， 则 . 25.设凹函数在上非负连续，且.求证：. 证：显然，.故 . 26.设，求证：. 证：取.对，有 .于是， . 由 的任意性，可得. 27.设，求证：，且 是最佳的. 证：设，则 .设均非零.若两者异号，则 ，矛盾.因此，它们同号.进而知，或者，或者与同号. 于是，.两边积分，得 . 由此得. 故.取，得到等式，故常数 不能减小. 28.求证：. 证：考虑 .故. 29.设函数连续可微，且.求证：. 证 1：由，有.从而得 .整理即得证. 证 2：注意到. 于是，.同理，. 由知，. 30.设为凸函数，递减趋于 ，且.求证： . 证：显然，. . 其中. 于是，.另一方面，显然有 . .整理即得证. 穷举至此，粗略地挪列也应结束了.这些经典题目并非完全按照难度大小排序，故中间某题难于其他题 是极正常的.愿读者自己先做题目再参考答案，当然这些题目也可作为参考，以启示其他内容的学习. 如果想深入研讨一些积分不等式，可以参阅数学分析高等数学例题选解 、 常用不等式 、 数学分 析范例选解 、 解析不等式等文献. 参考文献：史济怀数学分析教程 、刘绍武数学分析方法选讲 、朱尧辰大学生数学竞赛题选解 、陈兆斗大学生数学竞 赛习题精讲 、网上的两份定积分不等式证明方法 、 博士家园数学分析解答库.