专题03 反比例函数图象、解析式、面积及实际应用题（解析版）

专题03 反比例函数图象、解析式、面积及实际应用题一、基础知识1. 反比例函数（k0）中比例系数k的几何意义是：过图象上任意一点引x、y轴的垂线段，所得矩形面积为|k|. 自变量取值范围为x0.2. 反比例函数性质如下表K的取值图象所在象限增减性K>0一、三在每个象限内，y随x的增大而减小K<0二、四在每个象限内，y随x的增大而增大3. 反比例函数解析式的确定待定系数法（需要一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出k值）.二、特例解析例1. 【2020浙江台州】小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当. 当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系，完成第3次训练所需时间为400秒.（1）求y与x之间的函数关系式.（2）当x的值为6、8、10时，对应的函数值分别为y1、y2、y3，比较（y1-y2）与（y2-y3）的大小.【答案】见解析.【解析】解：(1)设y与x之间的函数关系式为：将（3,400）代入上式得：k=1200，即y与x之间的函数关系式为：（2）x=6时，y1=200，x=8时，y2=150，x=10时，y3=120y1-y2=50，y2-y3=30故（y1-y2）>（y2-y3）.例2. 【2020湖南常德】已知一次函数ykx+b（k0）的图象经过A（3，18）和B（2，8）两点（1）求一次函数的解析式.（2）若一次函数ykx+b（k0）的图象与反比例函数y（m0）的图象只有一个交点，求交点坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）把（3，18），（2，8）代入一次函数ykx+b（k0），得，解得，一次函数的解析式为：y2x+12；（2）一次函数ykx+b（k0）的图象与反比例函数y（m0）的图象只有一个交点，=2x+12只有唯一解，即2x2+12xm0 有两个相等的实数根，12242（m）0，m18把m18 代入求得该方程的解为：x3，把x3 代入y2x+12 得：y6，即所求的交点坐标为（3，6）例3. 【2020贵州贵阳】如图，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=的图象相交，其中一个交点的横坐标是2.（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数y=x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；（3）直接写出一个一次函数，使其经过点（0,5），且与反比例函数y=的图象没有公共点.【答案】见解析.【解析】解：（1）在y=x+1中，当x=2时，y=3，另一个交点是（2,3）将（2,3）代入y=得：k=6反比例函数的解析式是y=.（2）一次函数y=x+1向下平移2个单位后的解析式为：y=x-1联立，解得：x=-2，y=-3；x=3，y=2即平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为：（-2，-3）、（3,2）.（3）y=-4x+5.（答案不唯一）例4. 【2020山东烟台】如图，正比例函数y1mx，一次函数y2ax+b和反比例函数y3的图象在同一直角坐标系中，若y3y1y2，则自变量x的取值范围是（）Ax1 B0.5x0或x1C0x1 Dx1或0x1【答案】D.【解析】解：由图象可知，当x1或0x1时，双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方，即y3y1y2，所以若y3y1y2，则自变量x的取值范围是x1或0x1故答案为：D三、刻意练习1. 【2020安徽】如图，一次函数y=x+k（k>0）的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，与反比例函数的图形在第一象限内交于点C，CDx轴，CEy轴，垂足分别为点D，E，当矩形ODCE与OAB的面积相等时，k的值为.【答案】2.来源:学科网【解析】解：由题意得：OA=OB=k，SAOB=矩形ODCE与OAB的面积相等k=，解得：k=2或k=0（舍）故答案为：2.来源:Zxxk.Com2.【2020福建】设A，B，C，D是反比例函数y=kx图象上的任意四点，现有以下结论：四边形ABCD可以是平行四边形；四边形ABCD可以是菱形；四边形ABCD不可能是矩形；四边形ABCD不可能是正方形其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）【答案】.【解析】解： 如图，作出四边形ABCD由对称性可知，OAOC，OBOD，四边形ABCD是平行四边形，当OAOCOBOD时，四边形ABCD是矩形反比例函数的图象在一，三象限，直线AC与直线BD不可能垂直，四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项正确，故答案为.3.【2020湖北仙桃】如图，直线AB与反比例函数y=kx（x0）的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为（6，1），AOB的面积为8（1）填空：反比例函数的关系式为 ；（2）求直线AB的函数关系式；（3）动点P在y轴上运动，当线段PA与PB之差最大时，求点P的坐标【答案】见解析.【解析】解：（1）解：（1）将点A坐标（6，1）代入反比例函数解析式y=kx，得k166，则y=6x，故答案为：y=6x；（2）过点A作ACx轴于点C，过B作BDy轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形，设B（m，n），mn6，BEDEBD6m，AECEACn1，SABE=12AEBE=12(n-1)(6-m)，A、B两点均在反比例函数y=kx（x0）的图象上，SBODSAOC=1261=3，SAOBS矩形ODECSAOCSBODSABE6n33-12(n-1)(6-m)=3n-12m，AOB的面积为8，3n-12m8，m6n16，mn6，3n28n30，解得：n3或-13（舍），m2，B（2，3），设直线AB的解析式为：ykx+b，则6k+b=12k+b=3，解得：k=-12b=4，直线AB的解析式为：y=-12x+4；（3）三角形两这边之差小于第三边可知：当点P为直线AB与y轴的交点时，PAPB有最大值是AB，把x0代入y=-12x+4中，得：y4，P（0，4）4. 【2020湖北咸宁】如图，已知一次函数y1kx+b与反比例函数y2=mx的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（a，3）两点，连接OA，OB（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）AOB的面积为 ；（3）直接写出y1y2时x的取值范围【答案】见解析.【解析】解：（1）把A（6，1）代入y2=mx中，解得：m6，故反比例函数的解析式为y2=6x；把B（a，3）代入y2=6x，解得a2，故B（2，3），把A（6，1），B（2，3）代入y1kx+b，得6k+b=1-2k+b=-3，解得：k=12b=-2，故一次函数解析式为y1=12x2；（2）设一次函数y1=12x2与x轴交于点C，令y0，得x4点C的坐标是（4，0），SAOBSAOC+SBOC=1241+12438故答案为8；（3）由图象可知，当2x0或x6时，直线y1kx+b落在双曲线y2=mx上方，即y1y2，所以y1y2时x的取值范围是2x0或x65.【2020甘肃天水】如图所示，一次函数ymx+n（m0）的图象与反比例函数y=kx（k0）的图象交于第二、四象限的点A（2，a）和点B（b，1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，AOC的面积为4（1）分别求出a和b的值；（2）结合图象直接写出mx+nkx中x的取值范围；（3）在y轴上取点P，使PBPA取得最大值时，求出点P的坐标【答案】见解析.【解析】解：（1）AOC的面积为4，12|k|4，解得，k8，或k8（不符合题意舍去），反比例函数的关系式为y=-8x，把点A（2，a）和点B（b，1）代入y=-8x得，a4，b8；（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+nkx的解集为x2或0x8；（3）点A（2，4）关于y轴的对称点A（2，4），则直线AB与y轴的交点即为所求的点P，设直线AB的关系式为ycx+d，2c+d=48c+d=-1，解得，c=-56d=173，直线AB的关系式为y=-56x+173，直线y=-56x+173与y轴的交点坐标为（0，173），即点P的坐标为（0，173）6.【2020湖北恩施州】如图，在平面直角坐标系中，直线yax3a（a0）与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=kx（x0）的一个交点为C，且BC=12AC（1）求点A的坐标；（2）当SAOC3时，求a和k的值【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意得：令yax3a（a0）中y0，即ax3a0，解得x3，来源:学&科&网Z&X&X&K点A的坐标为（3，0），故答案为（3，0）（2）过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，CMOA，BCMBAO，且ABOCBO，BCMBAO，BCBA=CMAO，即：13=CM3，CM1，又SAOC=12OACN=3即：123CN=3，CN2，C点的坐标为（1，2），故反比例函数的k122，再将点C（1，2）代入一次函数yax3a（a0）中，即2a3a，解得a1，故答案为：a1，k27.【2020湖北黄冈】已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，OB=5，tanDOB=12（1）求反比例函数的解析式；（2）当SACO=12SOCD时，求点C的坐标【答案】见解析.【解析】解：过点B、A作BMx轴，ANx轴，垂足为点M，N，（1）在RtBOM中，OB=5，tanDOB=12BM1，OM2，点B（2，1），k（2）（1）2，反比例函数的关系式为y=2x；（2）SACO=12SOCD，OD2AN，又ANCDOC，ACDO=NCOC=CACD=12，设ANa，CNb，则OD2a，OC2b，SOAN=12|k|1=12ONAN=123ba，ab=23，由BMDCAN得，MDAN=BMCN，即2-2aa=1b，也就是a=2b2b+1，由可求得b1，b=-13（舍去），OC2b2，点C（0，2）8.【2020湖南岳阳】如图，一次函数yx+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k0）