天津市2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题附答案

天津市南开中学2021届高三年级第一次月考数学一、选择题（本大题共9小题，共45分）1已知集合，则（ ）A B C D2对于实数a，b，c，“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3设，则（ ）A B C D4函数的零点一定位于区间（ ）A B C D5函数的图象可能是（ ）A B C D6如图，在矩形中，点E为的中点，点F在边上，若，则的值是（ ）A B1 C D27定义在上的奇函数满足，当时，则（ ）A B C D8已知函数，若在区间上有m个零点，则（ ）A4042 B4041 C4040 D40399若曲线与曲线存在公切线，则实数a的取值范围（ ）A B C D二、填空题（本大题共6小题，共30分）10已知复数（i为虚数单位），则_11的展开式的常数项是_（用数字作答）12已知函数，若，则实数x的取值范围是_13已知函数，当时，则函数的最大值与最小值之和是_14已知函数的最小值为，则实数m的值为_15已知，函数，若有4个零点，则实数m的取值范围是_三、解答题（本大题共5小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题14分）已知函数的周期为（1）求的值及函数的单调递增区间；（2）若，且，求的值17（本小题15分）已知函数为奇函数（1）求a的值；（2）解不等式；（3）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围18（本小题15分）如图，平面，点E，F，M分别为，的中点（1）求证：平面；（2）求锐二面角的大小；（3）若N为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的长19（本小题15分）已知函数（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值；（2）若对于任意都有成立，试求a的取值范围；（3）记当时，函数在区间上有两个零点，求实数b的取值范围20（本小题16分）已知函数，其中（1）求的单调区间；（2）当时，斜率为k的直线l与函数的图象交于两点，其中，证明：；（3）是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由天津市南开中学2021届高三数学第一次月考参考答案一、选择题123459789DBCBDCABD二、填空题10 11240 12 136 14 15三、解答题16解：（1），解得的递增区间为（2）17解：（1）为奇函数（2），解得所以不等式的解集为（3）因为不等式对任意恒成立，所以对任意恒成立，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以18（1）连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形由点E和M分别为和的中点，可得且，因为，F为的中点，所以且，可得且，即四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面（2）因为平面，可以建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系依题意可得，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得设锐二面角的平面角为，所以所以，二面角的大小为（3）设，即，则从而由（2）知平面的法向量为，由题意，即，整理得，解得或，因为所以，所以，19（1）直线的斜率为，函数的定义域为因为，所以，所以，（2）由解得；由解得所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值因为对于任意都有成立，所以即可，即，解得，所以a得取值范围是（3）依题意得，则，由解得，由解得函数在区间上有两个零点，所以，解得所以b的取值范围是20（1）因为，当时，恒成立，所以在上单调递增，当时，时，在上单调递增，时，在上单调递减,综上所述：当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减（2）当时，所以，所以，要证，即证，因为，即证，令，即证，令，由（1）知，在上单调递减，所以，即，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，即；综上可得，即；（3）由已知得，即为，即，令，则，当时，所以在上单调递增，即，矛盾，故舍去；当时，由，得，由，得，所以在上单调递减，单调递增，所以，即当恒成立，求k的最大值令，则，当，即时，单调递增，当，即时，单调递减，所以，所以不存在整数k使成立，综上所述，不存在满足条件的整数k