高中数学三角函数知识点及试题总结-修订编选

高考三角函数高考三角函数 1.特殊角的三角函数值：1.特殊角的三角函数值： sin= 0 0 0 cos= 1 0 0 tan= 0 0 0 sin3= 0 0 2 1 cos3= 0 0 2 3 tan3= 0 0 3 3 sin= 0 45 2 2 cos= 0 45 2 2 tan=1 0 45 sin6= 0 0 2 3 cos6= 0 0 2 1 tan6= 0 03 sin9=1 0 0 cos9=0 0 0 tan9无 意 义 0 0 2角度制与弧度制的互化：角度制与弧度制的互化： ,23600,1800 0 03 0 0 0 456 0 09 0 0 0 120 0 135 0 15018 0 027 0 036 0 0 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 2 32 3.弧长及扇形面积公式弧长及扇形面积公式 弧长公式： 扇形面积公式:S=rl.rl. 2 1 -是圆心角且为弧度制。 r-是扇形半径 4.任意角的三角函数任意角的三角函数 设是一个任意角，它的终边上一点 p（x,y）, r= 22 yx (1)正弦 sin= 余弦 cos= 正切 tan= r y r x x y (2)各象限的符号： x y + cossin 2 + O + x y O + + + y O sin cos tan - + + 5.同角三角函数的基本关系：同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：sin2+ cos2=1。 （2）商数关系：=tan cos sin （）zkk, 2 6.诱导公式：诱导公式：记忆口诀：奇变偶不变，符号 2 k 把的三角函数化为 的三角函数，概括为： 看象限。 ， 1 sin 2sinkcos 2cosktan 2tankk ， 2 sinsin coscos tantan ， 3 sinsin coscostantan ， 4 sinsincoscos tantan 口诀：函数名称不变，符号看象限 ， 5 sincos 2 cossin 2 ， 6 sincos 2 cossin 2 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限 7 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 8、三角函数公式：8、三角函数公式： 降幂公式：降幂公式： 升幂公式升幂公式 ： 1+cos= cos2 2 cos2 2 2 2cos1 1-cos= sin2 2 sin2 2 2 2cos1 9正弦定理 ：正弦定理 ： . .2 sinsinsin abc R ABC 余弦定理：余弦定理： ; ; 222 2cosabcbcA ; ; 222 2cosbcacaB . . 222 2coscababC 三角形面积定理三角形面积定理. . 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 1直角三角形中各元素间的关系： 如图，在ABC 中，C90，ABc，ACb，BCa。 （1）三边之间的关系：a2b2c2。 （勾股定理） 两角和与差的三角函数关系两角和与差的三角函数关系 sin()=sin coscos sin cos()=cos cossin sin tantan1 tantan )tan( 倍角公式倍角公式 sin2 =2sin cos cos2 =cos2-sin2 =2cos2-1 =1-2sin2 2 tan1 tan2 2tan （2）锐角之间的关系：AB90； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sinAcosB，cosAsinB，tanA。 c a c b b a 2斜三角形中各元素间的关系： 在ABC 中，A、B、C 为其内角，a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 （1）三角形内角和：ABC。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 。R C c B b A a 2 sinsinsin （R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍 a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。 3三角形的面积公式： （1）ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示 a、b、c 上的高） ； 2 1 2 1 2 1 （2）absinCbcsinAacsinB； 2 1 2 1 2 1 （3）； )sin(2 sinsin 2 CB CBa )sin(2 sinsin 2 AC ACb )sin(2 sinsin 2 BA BAc （4）2R2sinAsinBsinC。 （R 为外接圆半径） （5）； R abc 4 （6）；)()(csbsass )( 2 1 cbas （7）rs。 4解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少 有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三 角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般 可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角 形是斜三角形，则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是： 设ABC 的三边为 a、b、c，对应的三个角为 A、B、C。 （1）角与角关系：A+B+C = ； （2）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab < c，bc b； （3）边与角关系： 正弦定理 （R 为外接圆半径） ；R C c B b A a 2 sinsinsin 余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA； 它们的变形形式有：a = 2R sinA，。 b a B A sin sin bc acb A 2 cos 222 5三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的 特点。 （1）角的变换 因为在ABC 中，A+B+C=，所以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)= tanC。； 2 sin 2 cos, 2 cos 2 sin CBACBA （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半。 （3） 在ABC 中， 熟记并会证明 ： A， B， C 成等差数列的充分必要条件是B=60 ； ABC 是正三角形的充分必要条件是A， B， C 成等差数列且 a， b， c 成等比数列。 四 【典例解析】四 【典例解析】 题型 1：正、余弦定理 （2009 岳阳一中第四次月考）.已知ABC中，ABa ，ACb ，0a b ， 15 4 ABC S， 3,5ab ，则BAC （ ） A. 30 B 150 C 0 150 D 30或 0 150 答案 C 例 1 （1）在中，已知，cm，解三角形；ABC 0 32.0A 0 81.8B42.9a （2）在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边ABC20a28b 0 40A 0 1 长精确到 1cm） 。 例 2 （1）在ABC 中，已知，求 b 及 A；2 3a62c 0 60B （2）在ABC 中，已知，解三角形134.6acm87.8bcm161.7ccm 解析：（1） 222 2cosbacacB =cos 22 (2 3)( 62)2 2 3 ( 62) 0 45 = 2 12 ( 62)4 3( 3 1) =8 2 2.b 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：A 解法一：cos 222222 (2 2)( 62 )(2 3)1, 22 2 2 2 ( 62) bca A bc 0 60 .A （2）由余弦定理的推论得： cos 222 2 b ca A bc 222 87.8161.7134.6 2 87.8 161.7 0.5543, ； 0 56 20A cos 222 2 cab B ca 222 134.6161.787.8 2 134.6 161.7 0.8398, ； 0 32 53B 0000 180() 180(56 2032 53)CA B 0 90 47. 例 3 在中， 求的值和ABCsincosAA 2 2 AC 2AB 3AtanABC 的面积。 . 2 1 )45cos( , 2 2 )45cos(2cossin A AAA 又, 0180 A4560 ,105 .AA , 13 tantan(4560 )23 13 A . 4 62 60sin45cos60cos45sin)6045sin(105sinsin A 。SACABA ABC 1 2 1 2 23 26 4 3 4 26sin() 例 4 （2009 湖南卷文）在锐角ABC中，1,2 ,BCBA则 cos AC A 的值等于 ， AC的取值范围为 . 答案 2)3,2( 解析 设,2 .AB由正弦定理得 ,12. sin2sin2coscos ACBCACAC 由锐角ABC得0290045 ， 又01803903060 ，故 23 3045cos 22 ， 2cos( 2, 3).AC 例 5 （2009 浙江理） （本题满分 14 分）在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c， 且满足 2 5 cos 25 A ，3AB AC （I）求ABC的面积； （II）若6bc，求a的值 解 （1）因为 2 5 cos 25 A ， 2 34 cos2cos1,sin 255 A AA ，又由 3AB AC 得cos3,bcA 5bc， 1 sin2 2 ABC SbcA （2）对于5bc ，又6bc，5,1bc 或1,5bc，由余弦定理得 222 2cos20abcbcA，2 5a 例 6 （2009 全国卷理）在ABC中，内角 A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知 22 2acb，且sincos3cossin,ACAC 求 b 解法一：在ABC中sincos3cossin,ACAC则由正弦定理及余弦定理有: 222222 3, 22 abcbca ac abbc 化简并整理得： 222 2()acb.又由已知 22 2acb 2 4bb.解得40(bb或舍）. 例 7的三个内角为，求当 A 为何值时，取得最ABCABC、 、cos2cos 2 BC A 大值，并求出这个最大值。 解析：由 A+B+C=，得= ，所以有 cos =sin 。 B + C 2 2 A 2 B + C 2 A 2 cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin =2(sin )2+ ； B + C 2 A 2 A 2 A 2 A 2 1 2 3 2 当 sin = ，即 A=时, cosA+2cos取得最大值为 。 A 2 1 2 3 B + C 2 3 2 例 8 （2009 浙江文） （本题满分 14 分）在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c， 且满足 2 5 cos 25 A ，3AB AC （I）求ABC的面积； （II）若1c ，求a的值 解（） 5 3 1) 5 52 (21 2