高考理科数学一轮复习课时提升作业：第3章 3.5.2《两角和、差及倍角》（含答案）

两角和、差及倍角公式的应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016济宁模拟)下列各式中,值为的是()A.2sin 15cos 15B.cos215-sin215C.2sin215-1D.sin215+cos215【解析】选B.cos215-sin215=cos30=.2.(2016菏泽模拟)已知sin=,则tan2=()A.-B.C.-D.2【解析】选A.因为sin=,所以cos=,tan=2,所以tan2=-.3.(2016上饶模拟)已知(0,),且sin+cos=,则cos2的值为()A.B.-C.D.-【解析】选B.将sin+cos=两边平方,得1+sin2=,所以sin2=-,所以sin>0,cos<0,可知<<.又因为sin>|cos|,所以<<,即<2<,所以cos2=-.4.已知R,sin+2cos=,则tan2=()A.B.C.-D.-【解析】选C.两边平方,再同时除以cos2,得3tan2-8tan-3=0,tan=3或tan=-,代入tan2=,得到tan2=-.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选C.(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性,记sin=,cos=,这时sin+2cos=符合要求,此时tan=3,代入二倍角公式得到答案C.【加固训练】若tan+=4,则sin2=()A.B.C.D.【解析】选D.方法一:因为tan+=4,所以4tan=1+tan2,所以sin2=2sincos=.方法二:因为tan+=+=,所以4=,故sin2=.5.(2016淄博模拟)将函数f(x)=sin2xsin+cos2xcos-sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,则函数g(x)在上的最大值和最小值分别为()A.,-B.,-C.,-D.,-【解析】选C. f(x)=sin2x+cos2x-sin=sin2x+cos2x-=sin2x+-=sin,所以g(x)=sin.因为x,所以4x+,所以当4x+=时,g(x)取得最大值;当4x+=时, g(x)取得最小值-.6.(2016太原模拟)将函数y=cosx+sinx(xR)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是()A.B.C.D.【解析】选B.化简表达式为y=cosx+sinx=2=2sin,将其图象向左平移m个单位后,得到y=2sin(x+m+)的图象,此图象关于y轴对称,则x=0时,y=2,即2sin=2,所以m+=+k,kZ,由于m>0,所以mmin=.7.(2016西安模拟)设当x=时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cos=()A.B.C.D.-【解析】选D.f(x)=sinx-2cosx=sin(x-),其中sin=,cos=,当x-=2k+(kZ)时函数f(x)取得最大值,即=2k+时函数f(x)取得最大值,所以cos=-sin=-.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若cosxcosy+sinxsiny=,sin2x+sin2y=,则sin(x+y)=.【解析】cos(x-y)=,sin2x+sin2y=2sin(x+y)cos(x-y)=,故sin(x+y)=.答案:9.已知=,则sin2=.【解析】因为=sin2x,所以sin2x=,则sin2=.答案:10.函数y=sincos的单调递减区间是.【解析】y=sincos=cosx=cos2x-sin2x+=cos+.求此函数的单调递减区间应有2k2x+2k(kZ),由此可得x(kZ).答案:(kZ)(20分钟35分)1.(5分)若tan=-3,则=()A.-1B.1C.-2D.2【解析】选D.因为tan=-3,所以=-3,所以tan=2,所以=tan=2.【加固训练】 (2016滨州模拟)设函数f(x)=cos(2x+)+sin(2x+),且其图象关于直线x=0对称,则()A.y=f(x)的最小正周期为,且在上为增函数B.y=f(x)的最小正周期为,且在上为减函数C.y=f(x)的最小正周期为,且在上为增函数D.y=f(x)的最小正周期为,且在上为减函数【解析】选B.f(x)=cos(2x+)+sin(2x+)=2=2cos,因为=2,所以T=,又函数图象关于直线x=0对称,所以-=k(kZ),即=k+(kZ),又因为|<,所以=,所以f(x)=2cos2x,令2k2x2k+(kZ),解得:kxk+(kZ),所以函数的递减区间为(kZ),又(kZ),所以函数在上为减函数,则y=f(x)的最小正周期为,且在上为减函数,故选B.2.(5分)(2016武汉模拟)在三角形ABC中,A,B,C是三角形ABC的内角,设函数f(A)=2sinsin+sin2-cos2,则f(A)的最大值为.【解析】函数f(A)=2sinsin+sin2-cos2=2sinsin+sin2-cos2=2sincos-=sinA-cosA=sin,由于A是三角形的内角,所以0<A<,-<A-<,故当A-=时,即A=时,函数f(A)的最大值为.答案:【加固训练】(2016长春模拟)函数f(x)=2sincos+的最大值为.【解析】因为f(x)=2sin+=sincos-sin2+=sinx-+=sin,所以f(x)max=1.答案:13.(12分)(2016德州模拟)已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1(>0)的最小正周期为.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程和单调递减区间.(2)若函数g(x)=f(x)-f,求函数g(x)在区间上的最小值和最大值.【解析】f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=sin.由于函数f(x)的最小正周期为T=,故=1,即函数f(x)=sin.(1)令2x-=k+(kZ),得x=+(kZ),即为函数f(x)图象的对称轴方程.令+2k2x-+2k(kZ),得+kx+k(kZ),即函数f(x)的单调递减区间是(kZ).(2)g(x)=f(x)-f=sin-sin=2sin,由于x,则02x-,故当2x-=即x=时函数g(x)取得最大值2,当2x-=,即x=时函数g(x)取得最小值-2.4.(13分)某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD,AB=50米,BC=25米,为了便于居民平时休闲散步,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE,EF和OF,考虑到小区整体规划,要求点O是AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且OEOF,如图所示.(1)设BOE=,试将OEF的周长l表示成的函数关系式,并求出此函数的定义域.(2)经核算,三条路每米铺设费用均为400元.试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用.【解题提示】(1)由题意可知OFA=,利用直角三角形中边角的关系列式,结合图形求定义域.(2)利用换元法求最值,要注意的范围.【解析】(1)在RtBOE中,OE=,在RtAOF中,OF=.在RtOEF中,EF=,当点F在点D时,角最小,=,当点E在点C时,角最大,=,所以l=,定义域为.(2)设t=sin+cos,所以t,l=,所以当=时,lmin=50(+1),总费用最低,为20000(+1)元.