九年级数学辅导：伟大的发现—韦达定理

一个伟大的发现韦达定理【知识要点 】1若一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)的两根分别为 x1 , x2 ，则： x1 + x2 =-b/a； x1 . x2 =c/a2若 x1 , x2 是某一元二次方程的两根，则该方程可以写成： x2-( x1 + x2 )x+ x1 x2 =0.【经典例题 】【例 1】已知 x1 ,x2 为方程 x2+px+q=0 的两根，且 x1 +x2=6, x1 2+ x2 2=20，求 p 和 q 的值 .【例 2】已知：方程 1x22x1 的两根为 x，x，不解方程求下列各式的值：(1)(x1-x2)2；212(2)x13 x2x1x23第 1页共 6页【例 3】已知：关于 x 的方程 x2-3x+2k-1=0 的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且 1+2k>0,求满足上述条件的 k 的整数值 .【例 4】已知，关于 x 的方程 (n-1)x2+mx+1=0有两个相等的实数根 .(1)求证：关于 y 的方程 m2y2-2my-m2-2n2+3=0必有两个不相等的实数根；(2)若方程的一根的相反数恰好是方程的一个根，求代数式m2n+12n 的值 .【方法总结 】1.利用韦达定理求一元二次方程的两根之和与两根之积.(1)容易忘记除以二次项系数；(2)求两根之和时易弄错符号.2.已知两根，求作一元二次方程时，也容易弄错一次项系数的符号.3.应用韦达定理时，注意不要忽略题中的隐含条件，比如隐含的二次方程必有实数根的条件.【经典练习 】第 2页共 6页一、选择题1.下列说法中不正确的是()A. 方程 x 2+2x-7=0 的两实数根之和为2B.方程 x 2-3x-5=0 的两实数根之积为 -5C.方程 x2-2x-7=0 的两实数根的平方和为18D.方程 x 2-3x-5=0 的两实数根的倒数和为3/52. 若x1,x2是 一 元 二 次 方 程2x2-3x+1=0的 两 个 根 ， 则x12+x22的 值 是()A.5/4B.9/4C.11/4D.73.已知关于 x 的一元二次方程X2-mx+2m-1=0 的两个实数根的平方和为7，那么 m 的值是()A.5B.-1C.5 或-1D.-5 或 14.方程 x2 -3x-6=0 与方程 x2-6x+3=0 的所有根的乘积为()A.-18B.18C.-3D.35.若一元二次方程ax2+bx+c=0 的两根为 -3 和 -1，则抛物线y=ax2+bx+c 的顶点横坐标为()A.-2B.2C.3D.-16.已知： a、b、c 是 ABC 的三条边长，那么方程cx 2+(a+b)x+c/4=0 的根的情况是()A. 无实数根B.有两个不相等的正实根C.有两个不等的负实根D.有两个异号的实根二、填空题1. 请 写 出 一 个 二 次 项 系 数 为 1 ， 两 实 根 之 和 为 3 的 一 元 二 次 方程：。2.已知方程 x2+3x-1=0 的两根为、，那么+=。3.以 23和 23 为根的一元二次方程是。4.已知：实数 a、b 满足条件 a2-7a+2=0， b2-7b+2=0，且 ab，则 ba5.设 x1,x2 是方程 2x2+4x-3=0 的两个根，则 (x1+1)(x2+1)=ab，x12+x22=.6.设 x1 ，x2 是方程 2x2-3x+m=0 的两个实根，且 8x1-2x2=7，则 m 的值是.7. 2 是一元二次方程 x2-3x+m=0 的一个根， -2 是一元二次方程 x2+3x-m=0 的一个根，那么m=.8.已知：已知关于 x 的方程 x2-3x+m=0 的一个根是另一个根的2 倍，则 m 的值为.三、解答题第 3页共 6页1、已知：关于 x 的方程 x2-2mx+3m=0 的两个实数根是 x1,x2,且 (x1-x2)2 =16，如果关于 x 的另一个方程 x2-2mx+6m-9=0 的两个实数根都在 x1 和 x2 之间，求 m 的值 .2、已知 x1,x2 是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0 的两个实数根 .(1)是否有在实数 k，使 (2x1-x2)(x1-2x2)=-3/2 成立 ?若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 .(2)求使 x1x22 的值为整数的实数 k 的整数值 .x2x13、已知关于 x 的方程 (m+1)x2+2mx+m-3=0 总有实数根 .(1)求 m 的取值范围 .2)若 m 在取值范围内取最小正偶数时，方程是否有两个根，若有，设两根为x1、x2，求：第 4页共 6页3x12(1-4x2)的值；若没有说明理由 .4.阅读下列解题过程：已知：方程x2+3x+1=0 的两个根为、，求的值。解： 32-4115>0（1）由一元二次方程的根与系数的关系，得+ -3， 1（2）33（ 3）1阅读后回答问题：上面的解题过程是否正确？若不正确，指出错在哪一步，并写出正确的解题过程：作业第 5页共 6页1. m,n 是方程 x2+2002x-1=0 的两个实数根，则m2n+mn2-mn=.y 24xm 值.2 如果方程组只有一个实数解，求y2x m3.已知： x1、x2 是方程 x2-x+a=0 的两个实数根，且113 ，求 a 的值 .x12x224已知方程 x 23x20 不解这个方程，利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程使它的根分别是：（ 1）已知方程各根的倒数；（ 2）已知方程各根的平方；5已知方程 x 23xk0 （ 1） 若方程两根之差为5，求 k 的值；（ 2） 若方程一根是另一根的 2 倍，求这两根之积第 6页共 6页